翟亚浩，任瑞冬，任丁丁

(中国飞行试验研究院 发动机所，陕西 西安 710089)

0 引 言

压载疲劳问题在飞机和航空发动机的关键或重要零部件上比较常见，而目前关于压应力对疲劳寿命的影响研究及疲劳数据很少，而且关于压载的疲劳试验又很难实现。手册中的S-N曲线或Manson-Coffin公式均用平均载荷比大于或等于零情况下的疲劳试验获得的[1-3]，因此这些通过大量疲劳试验数据拟合获得的估寿公式是否适用于单调压载疲劳寿命分析是工程上一直未解决的问题。

灰色系统理论为压载下的疲劳寿命预测提供了一种新的思路，它以“小样本”不确定性系统为研究对象，通过对无规律的原始数据序列进行累加生成，可以弱化随机扰动因素造成的影响，累加后的数据呈指数增长规律，然后再进行预测，这样能够较为真实地反映出考核变量随各影响因素的变化规律[4]。材料疲劳寿命的影响因素很多，并且某些因素对疲劳寿命的影响是未知或不确定的[5]，正基于此，笔者在只有比较散乱的小样本压载疲劳试验数据的基础上，将受众多因素影响的疲劳现象看作一个灰色系统[6]。首先，利用灰色关联度分析得到了压载疲劳寿命与各影响因素的关联度，然后建立多维灰色系统预测模型对7075-T651铝合金的压载疲劳寿命进行了拟合和预测。

1 灰色关联度分析模型的建立

灰色关联是灰色系统的基本概念之一。灰色关联是指事物之间的不确定关联，或系统因子之间，因子对主行为之间的不确定关联[7-8]。

设参考序列为x0=[x0(1),x0(2),...,x0(n)]，与参考数据序列进行比较的数据序列为x1,x2,...,xm。其中，x0(k)，xi(k)分别是x0及xk的第k点，其中i=1,2,…,m，k=1,2,…,n。

令q(X0,Xi)为xi对于x0在k点的灰关联度(或叫灰色关联系数)，可记为q0i，k点关联系数q(x0(k),xi(k))记为q0i(k)。

求灰色关联度的通常步骤为：

(1) 求各序列的均值像得：

i=1,2,…,n

(1)

(2) 求差序列，记为：

Δi(k)=|x0′(k)-xi′(k)|

Δi=(Δi(1),Δi(2),...,Δi(n))

i=1,2,…,n

(2)

(3) 求序列的两极最大差值与最小差值，记为:

(3)

(4) 计算关联系数，可以定义以下点关联系数的计算公式，ξ一般取0.5。

q0i(k)=

ξ∈(0,1)

(4)

(5) 计算关联度

k=1,2,…,n，i=1,2,…,n

(5)

(6) 对关联度进行排序。关联度值越大，表明两个因素间的关系越紧密，同步变化度越高。

2 多维灰色系统预测模型[9]

按照建模变量个数多少，灰色预测模型可分为单变量灰色预测模型和多变量(多维)灰色预测模型。其中，单变量灰色预测模型建模过程简单，建模对象仅为时序数据，但它有着很大的局限性，因为其无法反应外部环境因素对系统发展趋势的影响。与单变量灰色预测模型不同，多变量灰色预测模型是典型的因果预测模型，建模过程可以将相关因素对系统特征的影响考虑在内，弥补了前者的不足。经过国内外学者的不断研究和拓展，多维灰色系统预测模型在数据的模拟和预测方面已经表现出优异的性能。

k=2,3,…,m

则称：

(6)

为OGM(1，N)优化模型，简称OGM(1，N)模型(Optimizing Grey Model)，式(6)中h1(k-1)、h2分别称为OGM(1，N)模型的线性修正项及灰色作用量。

与以往的多维灰色系统预测模型相比，OGM(1，N)模型主要增加了线性修正项h1(k-1)与常数h2，h1(k-1)能够反映因变量和自变量之间的线性关系，h2类似于GM(1,1)模型[10]中的参数b，反映了自变量数据变换关系。

式(6)中的参数a、bi、h1、h2均为未知参数，下面通过定理1进行求解。

(7)

其中：

B=

使用最小二乘法，即可完成对定理1的证明。

式(6)尚且无法直接用于对因变量进行模拟和预测，需要先构建OGM(1，N)的差分模型，如定义2所述。

1)+h2

(8)

为OGM(1，N)的差分模型。

根据定义2，则可推导因变量的函数表达式，如定理2所述。

定理2 OGM(1，N)模型如定义2所述，则其时间响应式为：

k=2,3,...

(9)

其中：

3 7075-T651铝合金压疲劳寿命预测

图1 7075-T651铝合金试件示意图 (单位：mm)

文献[11]对由7075-T651铝合金材料制成的四种类型试件进行了疲劳试验，其中包括单轴加载犬骨形板状试件、单轴加载实心圆柱试件、扭转加载实心圆柱试件和轴向拉压与扭转组合加载的圆管形试件等。其中单轴加载实心圆柱形试件用来进行平均应力为较大压应力的试验，如图1所示，试验方式采用应力控制加载，利用伸长计测量试件的轴向应变，试验结果如表1所列。

表1 7075-T651铝合金疲劳试验结果

已有研究表明SWT准则[12]与铝合金的疲劳试验有很好的相关性，文献[11]根据试验数据分析了所测试的单轴试件的SWT能量参数与疲劳寿命的关系，结果表明，该参数与大多数单轴加载情况下的试验结果有很好的相关性，但是当加载平均应力为比较大的压应力时并且最大应力为正应力或者接近零时，二者相关性极差。并且由于SWT参数假定当最大应力为负时，疲劳损伤为零，因此SWT准则也不能用来预测压-压加载下的疲劳失效问题。故本文根据现有的小样本试验数据，采用多维灰色系统预测模型来预测7075-T651铝合金试件在较大平均压应力加载下的疲劳寿命。

3.1 灰色相对关联度

根据关联度的定义可以求出7075-T651铝合金试件的系统特征数据序列(压载疲劳试验寿命)和相关因素数据序列(应变幅、应力幅、平均应力)两两因素之间的灰色相对关联度，结果如表2所列。

表2 两两因素间的灰色相对关联度

由表2看出，铝合金在压应力主导下的疲劳寿命与应变幅和应力幅的关联度几乎相同，与平均寿命的关联度稍高一些，为0.724 8。应力幅和应变幅的关联度较高，达到了0.936 4，这是因为应力和应变间在弹性范围内存在线性相关关系，变化率为压载弹性模量。关联度未接近0.9而未接近1，表明试件所受最大应力已超过压载屈服强度，材料进入塑性变形，二者不再呈线性相关关系，具体涉及到材料的压载弹性模量和压载屈服强度研究问题，而材料参数表中给出的弹性模量和屈服强度通常为通过拉伸试验测得的结果，这不在本文研究范围，故不作深入讨论。

3.2 建立7075-T651铝合金疲劳寿命的OGM(1，N)模型

(1) 计算OGM(1，N)模型参数。根据定理2，可计算铝合金疲劳寿命的OGM(1，N)模型的参数：

其中，矩阵B、Y如下：

B=

(2) 根据定理3及参数μ1、μ2、μ3、μ4，建立7075-T651铝合金疲劳寿命的OGM(1，N)模型为：

j)+180922.15]k=2,3,…

(10)

通过计算OGM(1，N)模型得到1～12号试件疲劳寿命的模拟值以及相对误差，并用来预测13～16号试件的疲劳寿命，并计算相对误差，结果如表3所列。并绘制试验寿命和模拟寿命的散点折线图，如图2所示。

图2 OGM(1，N)模型模拟结果

表3 7075-T651铝合金疲劳寿命的试验值和模拟值对比

从表2得知，利用建立的OGM(1，N)模型对前12个7075-T651铝合金的压载疲劳寿命进行模拟，最终结果和试验结果吻合良好，平均相对误差仅为5.066%。然后在模型中代入应变幅、应力幅和平均应力三个因素，对后4个试件进行了疲劳寿命预测，结果显示，平均相对误差为9.224%，在工程上能够接受。其中最后一个试件的相对误差较大，达到25.831%，通过分析试验数据，原因可能为疲劳寿命试验存在的分散性。

4 结 语

基于灰色系统理论的思想，将材料的疲劳现象看作是一个灰色系统，对7075-T651铝合金的压载疲劳寿命和与之相关的应变幅、应力幅和平均应力等影响因素建立起一组相互关联的灰色预测模型(OGM(1，N)模型)。经过验证，OGM(1，N)模型可以预测各影响因素间的相互协调关系的变化，并较为准确地拟合和预测7075-T651铝合金的压载疲劳寿命，表明该灰色预测模型在小样本、贫信息的基础上有着很好的工程实用价值，为压载疲劳寿命的预测提供了重要的参考作用。