广东省东莞市南城中学(523078) 曾 慧

1 问题提出

面对短暂紧张的中考复习,比较普遍的做法是,教师面面俱到, 一味灌输. 对“双基”走过场, 对“重点”似挠痒, 对“难点”过鸭背. 学生独立思考时间少,空间小. 这种复习,会造成,在考试时,试题所涉及的知识与方法,教师全部都讲过,但学生错误率极高. 我们应意识到,中考数学复习不是简单的知识重复,而是知识再认识、能力再提高、思维再升华的过程.

2 举例说明

2.1 整合相关知识,把握不变

数学知识包括概念、定义、性质、法则、定理等. 整合相关知识就是依据知识之间的联系,进行整合记忆,目的就是通过分析相关的知识,掌握它们的联系与区别,准确理解内涵与外延.

如: 一元一次方程的一般形式:ax+b=0(a ̸=0);一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a ̸=0).

例2.1.1关于x的方程(a+1)x2+2x+3=0 是一元二次方程,则a的取值范围____.

此题正确率较高. 但学生会忽略,当a= 0,b ̸= 0 时,是一元一次方程. 如:

例2.1.2关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x+2=0,当m____时是一元一次方程;当m____时是一元二次方程.

若在复习时, 没有整合处理, 领会概念的内涵与外延,答题时容易混淆, 答错. 同时联系一次函数一般形式:y=kx+b(k ̸=0);二次函数一般形式:y=ax2+bx+c(a ̸=0);

例2.1.3已知函数y=(k2-9)x2+(k+3)x+17.

①当k为何值时该函数为一次函数? 并求函数的解析式.

②当k为何值时该函数为二次函数?

对此类相关知识应逐层整合,注意异同点辨析,加强通性通法的训练,把握“定义”不变.

2.2 整合方法,把握不变

初中常用数学方法有: 配方法,换元法,消元法,待定系数法等. 逐层整合,同种方法,在不同情境的使用. 如: 配方法. 常用于解一元二次方程,求二次函数顶点(或对称轴). 对这类题,我们学生一般都能运用自如. 但会忽略,以下几种需要使用配方法解决的题目.

例2.2.1已知关于x的一元二次方程:x2+(m+3)x+m+1=0. 求证: 无论m为何值,原方程总有两个不相等的实数根.

这类题,学生知道要用根的判别式,但难得满分,原因是不会使用配方法,将判别式配成非负数(完全平方式)加某正数的形式. 同样若将题目中方程等号右边的0 改为y.

例2.2.2已知二次函数y=x2+(m+3)x+m+1.

求证: 无论m为何值,抛物线总与x轴有两个交点.

与1 一样,用配方法去证明b2-4ac≥0. 配方法还会以阅读理解的形式出现在中考卷上.

例2.2.3使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点. 例如,对于函数y=x-1,令y= 0,可得x= 1,我们就说1 是函数y=x-1 的零点.

已知函数y=x2-2mx-2(m+3)(m为常数).

①当m=0 时,求该函数的零点;

②证明: 无论m取何值,该函数总有两个零点.

例2.2.4在RtΔABC中,∠C=90°,BC+AC= 4,求RtΔABC面积的最大值.

设BC=x,则AC= 4-x,有RtΔABC面积用配方法, 得最值. 这是一道几何代数的结合题,中考常出现以此题为模型的变换. 无论以何种形式出现,把握“方法”不变.

2.3 整合数学思想,把握不变

初中出现的数学思想有: 数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想、建模思想及化归与转化思想等. 数学某些知识所藴含的思想是一致的,如: 数形结合思想,在复习中,可将所学函数的图象整合,便于记忆运用.

函数增减性,如y=kx+b,当k ＞0,y随x的增大而增大;当k ＜0,y随x的增大而减小. 这性质可通过画图,数形结合分析即得.

例2.3.1若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)在反比例函数的图像上,下列结论正确的是( )

A.y1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3

C.y3＞y1＞y2D.y3＞y2＞y1

若采用数形结合,画图即得答案,下题也一样.

例2.3.2正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A(-1,2),B(1,-2)两点,若y1＜y2,则x的取值范围是____.

例2.3.3已知抛物线y=-x2+ 2x+ 2, 它的对称轴是____, 顶点坐标____; 若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2) 的横坐标满足x1＞x2＞1, 试比较y1与y2的大小.

此题画图易得答案. 在复习时,逐层整合,坚持画图,从左往右看,上升,即y随x的增大而增大,下降,则y随x的增大而减小. 永远把握“思想”不变.

2.4 整合相关图形,把握不变

很多图形是由基本三角形平移、旋转、翻折等方式形成.复习时,可逐层整合,让学生感知、体验变换的特点,在万变中,把握不变. 如: 解直角三角形的应用.

例2.4.1图1 热气球的探测器显示,从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°, 看高楼的底部C的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离AD为120m,这栋高楼有多高?

在RtΔABD中, ∠BAD= 30°,AD= 120, 解直角三角形, 求出BD; 类似地在RtΔACD中, ∠CAD= 60°,AD= 120,求CD,相加即可. 学生能顺利完成此题,但以下的题完成的却不是那么理想.

例2.4.2一测量爱好者,在海边测量位于正东方向的小岛高度AC,如图2 所示,他先在点B测得山顶点A的仰角为30°,然后向正东方向前行62 米,到达D点,在测得山顶点A的仰角为60°(B、C、D三点在同一水平面上,且测量仪的高度忽略不计). 求小岛高度AC.

图2 可看成由图1 旋转叠加而成. 与图1 一样,两个直角三角形有一条公共边,求出公共边AC是关键. 由于是特殊角,所以除上述做法外,还可用外角性质来求解.

例2.4.3如图3,A、B两城市相距100km,现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P为圆心,50km 为半径的圆形区域内. 请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区,为什么?

这题涉及直线与圆的关系,需过P作PD ⊥AB. 图形可看作是由图1 旋转而成,两个有公共边PD的直角三角形.求PD的长度是解题关键.

例2.4.4如图4, 梯形ABCD是拦水坝的横断面图, 铅直高度DE与水平宽度CE的比i= 1 :∠B=60°,AB=6,AD=4,求横断面ABCD的面积.

作辅助线将梯形分成两个有公共边的直角三角形和一个矩形,可看作由图1 旋转,后分开,中间插入矩形形成的图形. 同样公共边(梯形的高)的长度是解题关键.

为什么学生答2,3,4 题的正确率不如题1,原因是学生没有找到答题关键. 在复习时,应引导学生,分析图形,辨别是由基本图形怎样变换得来,寻找直角三角形,发现联系. 把握“公共边(角)或等边(角)”不变.

2.5 整合相同或相近已知,把握不变

某些题目的的已知相同或相近,虽要求证的结论不一样,但藴含的思想与方法是一致的,可把这些习题整合,通过比较,发现本质,把握不变.

例2.5.1如图5,ΔABD,ΔAEC都是等边三角形. 求证:BE=DC.

此题有多种解法,常见的有两种: 运用三角形全等,或用旋转.

例2.5.2如图6,等边ΔABC与等边ΔCDO,连接AO,E、F、M、N分别是AO、OD、BD、AB的中点,判断四边形EFMN的形状,说明理由.

此题有关中点四边形的证明,很多学生会证明它是平行四边形, 忽略题1 的结论,AD=BO, 即有EF=MF, 结论: 菱形.

图形变了,本质不变. 许多压轴题就是以图5 为基本型的.

例2.5.3在ΔABC中,AB=AC, ∠BAC=α(0° ＜α ＜60°), 将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.

①如图7,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);

②如图9,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断ΔABE的形状并加以证明;

③在②的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值.

按要求作图,运用上例的方法是能顺利求解的.

掌握通法,把握“思想方法”不变. 学会从变化中掌握知识之间的联系,充分挖掘题目的潜在功能,弄懂一题,学会一片. 复习少追求题目的多样,应注重问题的理解,思维的深刻.

例2.5.4如图9,四边形ABCD,四边形CEFG都是正方形,点B、C、E在同一直线上. 求证:BG=DE

与1 相近,可用相同的方法证明. 整合用同类思想方法的题目,让学生把握“条件”不变,“思想方法”也不变.

3 结束语

教学实践证明,复习要坚持以学生为本,按学生思维方式,将数学知识、思想与方法,逐层整合,引导学生发现规律,形成解法体系,把握不变应万变.