广东省广州市真光中学(510380) 苏国东

1 前言

据调查分析[1],学生在立体几何学习中主要存在缺乏学习兴趣、解题能力欠缺、空间想象能力不足等主要问题;教师在立体几何的教学中也存在着教法落后、缺少图形直观呈现等问题.

近年来,信息技术工具的迅猛发展,给立体几何的教学带来了勃勃生机. 其中,功能较全面、较有针对性的当属“玲珑画板”软件. 与几何画板等软件相比,玲珑画板具有更强大的立体建模和动态教学功能, 能有效凸显学生的主体地位,提升学生的空间想象能力,培养学生的数学立体思维,在教学实践中受到了越来越多师生的青睐.

2 教学案例

“球的表面积和体积”一课的教学目标,是让学生学会利用球的表面积公式和体积公式解决相关问题,其中较典型的有正方体与正四面体的内切球与外接球问题,属于本课教学的重难点,需要学生具备较强的几何直观能力和空间想象能力.

2.1 问题设计

教师创设实际情境,利用玲珑画板设计正方体立体模型,以正方体中心为球心构造一个球体,如图1. 拖拽球体顶部的控制点可以将球体放大缩小,随着半径的变化,球体会先后与正方体的面、棱、顶点接触,学生从中可以直观了解何为正方体的内切球、棱切球及外接球. 拖动下方“旋转”控制点或点击自动按钮可以从不同角度观察模型中正方体与球的位置关系.

下面结合情境,进一步探究三种情况下球的半径与正方体棱长的数量关系. 设正方体的棱长为a,教师设计三个具体问题.

问题1如图2,若把小球吹大,使得球面与正方体的各面都相切,求此时球的半径.

问题2如图3,若把球吹大到与正方体各条棱都相切,求此时球的半径.

问题3如图4,若把球吹大到刚好包住整个正方体,即正方体各个顶点都在球面上,求此时球的半径.

图1

图2

图3

图4

2.2 问题解决

教师引导学生充分思考三个问题,组内交流,再邀请学生代表上台利用玲珑画板进行演示和讲解.

以问题3 为例, 学生自主讲解思路, 同时用画线工具连接模型中的AC′和AC, 构造面ACC′, 如图5.学生选中整个几何体, 点击“视图”菜单中的“透视图”命令,在透视图窗口中自由旋转、缩放模型,台下学生在“立体”的讲解中有了多角度的感受. 最后得出正方体的体对角线AC′即为外接球的直径.

图5

利用玲珑画板的立体模型以及透视图功能,让学生直观理清三个问题中点线面之间的关系,获得了解决此类问题的关键,即寻找出球心所在的轴截面,把空间问题转化为平面问题,再利用已知数据计算半径或直径.

2.3 拓展提升

在此基础上,教师设计正四面体与球的问题,进一步培养和提升学生的数学立体思维. 教师利用玲珑画板建立正四面体模型,以其中心为球心建立外接球与内切球.

图6

图7

图8

问题4如图6,求棱长为a的正四面体的内切球的半径.

问题5如图7,求棱长为a的正四面体的外接球的半径.

以问题4 为例,教师引导学生采用类似的思路进行探究,寻找球心所在的轴截面. 拖动下方“旋转”控制点让学生理清球体与正四面体各个面与棱的位置关系.

但由于正四面体不如正方体的情况直观具体,部分学生仍然难以找出该截面. 于是教师选中整个几何体, 点击“视图”菜单中的“三视图”命令,在三视图窗口中能同时从三个方向呈现模型的位置关系,如图8.

教师拖拽其中一个视图中的图形进行旋转,其余视图中的图形会同步旋转. 在这一过程中,学生深刻理解到球体与正四面体各个面与棱的位置关系,图8 中该时刻左视图的三角形面即为所求的过球心的轴截面.

教师邀请学生代表上台,在正四面体模型中创建BC的中点F,连接AF,DF,作出所求的轴截面ADF,如图9. 学生利用“透视图”窗口对轴截面与正四面体的位置关系进行全方位展示,验证其合理性并讲解思路. 最后师生共同利用平面几何的知识在不同三角形面内计算各线段长,一步步得出内切球半径与正四面体棱长之间的数量关系.

2.4 建立联系

问题5 也可使用相同方法,找到轴截面ADF进行解答,如图10. 但此法需要学生具备较强的直观想象能力和逻辑推理能力,为了进一步体现知识间的联系,培养学生从多角度思考问题,教师再设计如下问题.

图9

图10

问题6联想正四面体与前面研究的正方体之间的关系,两者都具有对称美,能否相互转化.

学生发现, 连接正方体的六条面对角线AC,B′D′,AB′,AD′,CB′,CD′后 即得到了一个正四面体A -CB′D′,如图11. 即是说正四面体可以补成一个正方体,正四面体的外接球即为正方体的外接球, 其中正四面体的棱长是该正方体棱长的倍.因此利用问题3 的结论即可快速解决问题5.

3 教学反思

3.1 数学立体思维是核心素养的重要体现

数学核心素养体现了数学课程的育人目标,立体几何知识内容对学生核心素养,尤其是直观想象素养的培养有着极为重要的教育价值,而几何直观能力和空间想象能力也主要通过立体几何教学进行培养. 因此,选择适宜的、直观有效的立体几何教学方法和手段是培养和提升学生数学立体思维和素养的关键.

3.2 立体几何教学应凸显学生的主体地位

教师应正确认识学生的主体地位,充分发挥其主体性和创造性. 立体几何是数学学习的重难点内容,教师在教学中要善于借助技术工具创设探究情境,设计有效的“问题链”,搭建数学实验的平台,给予学生自主探索、动手操作、合作交流的机会,提升学生学习立体几何的兴趣,让学生学会从多角度研究问题、发现联系、总结规律,逐步提升数学立体思维能力.

3.3 技术融合有效改进立体几何教学方式

随着新媒体新技术的日益发展与普及,越来越多的教学技术工具与学科教学紧密融合,这些工具具有可视性和智能性,在课堂教学中发挥着重要的作用. 玲珑画板在立体建模和动态教学中具有独特的功能优势,能将静态的图形动态的呈现,既增强了几何学习的趣味性,又能让师生在教学中实时作图、变换,同步呈现透视图和三视图,从而对问题进行多角度、全方位的观察与分析,对立体图形中的点线面的位置关系有了完整立体的认知. 信息技术与数学教学的融合进一步改进和优化了立体几何的教学方式.