北京市怀柔区京市第一O 一中学怀柔分校(101407) 李加军

2019年北京大学优秀中学生暑期课堂测试早已落下帷幕. 这份试题源于课本又高于课本,试题整体区分度较大,前三题入手较易,却令人耳目一新,后两题需要学生具备适当的拓展知识,如高次方程韦达定理、第二数学归纳法及抽屉原则等内容.

数学课程目标首先要求学生在学习数学的过程中掌握数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”);其次,在应用数学的过程中提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”);进而在学习数学和应用数学这两个过程中发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养;最后,能够会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界(简称“三会”). 数学学科核心素养是课程目标的集中体现,“三会”是数学学科核心素养的外在表现.

这套试题很好地落实了数学课程目标,考查了学生的数学学科核心素养. 下面笔者对试题进行赏析,以飨读者.

1. 已知函数f(x)满足f(f(x))=x-1,问: 是否存在整数n,使得f(n)是整数. 若存在,求出所有的n;若不存在,请说明理由.

分析存在性问题的一般思路是假设存在,然后按照题目条件进行合理推导,最后如果推出矛盾,则得出结论不存在;如果推出结果,则需要进一步对结果进行检验来确定结论是否存在.

解假设存在n,m ∈Z, 使得f(n) =m, 则f(m) =f(f(n)) =n -1, 进而f(n-1) =f(f(m)) =m -1,f(m-1) =f(f(n-1)) =n-2,依此类……