广东省东莞市麻涌中学(523000) 骆妃景

广东省汕头市澄海华侨中学(515800) 潘敬贞

广东省佛山市顺德区第一中学(528300) 杨承根

1 教学现状及思考

当前高考复习折射了这是一个刷题的时代.大海茫茫靠灯塔,题海茫茫凭典例,殊不知一道题做透了,要远胜过做一百道题. 刷百题不如解透一题,多做题固然必不可少,但多反思更加难能可贵. 教材例题凝聚了专家、前辈们们的智慧,是精雕细磨的产物,一些看似平淡无奇的例题,却隐藏着深渊的背景,也有着意想不到的功能,体现了课程标准与教学大纲的灵魂,高考题大多都能在教材中找到题源,研究教材例题就如同和高考命题专家对话. 因此教材例题一直是来年高考复习与研究首选的课程资源,最好的复习教学的素材,当你真正把教材例题研究透了,这些试题便有已出,临考时对试卷就绝无陌生之感,并能触类旁通. 因此在高三复习课中,应该当抓住教材例题的生长点,深入挖掘,达到让学生触类旁通,提高学生解题能力,发展学生核心素养的目的.

2 教学过程

2.1 例题呈现

笔者开设了一节解析几何的综合复习课,选用了人教A版《数学(选修2-1)》第41 页的例3 作为本节课的例题,然后对例题进行激活与拓展.

例1设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点m,且它们的斜率之积是,求点m的轨迹方程.

由学生自主解答. (师生对话,引导学生关注题目的核心条件及其数据分析,猜想结论.)

2.2 合作探究

合作探究中,倘若全靠学生独立探究那是不可取的,教师应当在合作探究中做好引路人的角色,引导学生进行发散式探究,遵循从特殊到一般的探究方向.

笔者主要通过对例题的数据进行分析、猜想、提问,一步一步的引导学生进一步探索,椭圆中是否更具一般性的性质或结论.

变式1设点A,B的坐标分别为A(-a,0),B(a,0),直线AM,BM相交于点M, 且它们斜率之积是(其中a ＞0,b ＞0) , 求动点M的轨迹方程(答案: 椭圆

变式2在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆的上、下顶点分别为A,B, 点P在椭圆C上且异于点A,B, 设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.

变式3已知椭圆C的方程为:=1(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆C上且异于点A,B,设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2=

笔者追问道: 变式2 和变式3 中的点A,B是都为是椭圆的上、下顶点,两点是关于原点对称的,能否换成更一般的其他关原点对称的两点再做拓展呢? 教师提出如下变式4.

变式4已知椭圆C的方程为:=1(a ＞b ＞0),过原点的直线l交椭圆C于P,Q两点,M为椭圆上异于P,Q的任一点,求证:kMP ·kMQ为定值.

证明: 设P(x1,y1),M(x0,y0)则Q(-x1,-y1),所以

所以kMP ·kMQ=为定值.

评注变式1——变式3,主要是对例题进行逆向探究和验证,为后面的一般化探究和拓展做好铺垫,变式4 进一步的做一般化探究. 意在促进学生对问题本质的理解,拓宽学生的数学视野,训练学生的数学思维,培养学生的理性思维,发展学生的数学素养.

2.3 类比探究

笔者通过对话引导学生回顾圆的垂径定理,引导启发学生启将“椭圆的这个性质”与“圆的垂径定理”以及两直线的斜率之积k1k2=-1 联系起来,从而提出新的探究方向: 圆内是否还有类似的性质可类比椭圆? 比如圆内有垂径定理,那椭圆中是否也有类似垂径定理呢?

在这里给学生足够的探索时间,为学生提供足够的展示和交流的机会,由点差法的引领,学生对圆的垂径定理作类比获得了一个探究成果.

变式5已知椭圆C的方程为:=1(a ＞b ＞0),

直线AB交椭圆C于A,B两点,点M是弦AB的中点,记直线AB,OM的斜率分别为k1,k2,证明k1k2=

证明: 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)即x1+x2=2x0,y1+y2= 2y0, 联立方程由点差法可得:①-②得= 0,即= 0, 所以即kABkOM=

通过引导以及学生的协作学习得出变式5,以及椭圆中存在类似于圆的“垂径定理”. 此时笔者乘胜追击,继续追问道: 我们知道, 圆的切线与过切点的半径垂直, 那么我们将直线AB进一步平移与椭圆相切于点M,大家来探索一下kAB ·kOM的值.

变式6已知椭圆C的方程为:=1(a ＞b ＞0),直线AB与椭圆C切于点M,记直线AB,OM的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2=

证明: 当AB无限趋近于0 时,A,B,M三点无限趋近于切点M,kAB的极限值即为为k,所以k·kOM=

评注通过师生对话引导学生关注上述命题各自的核心条件及其统一的结论感受数学之美,考虑课堂的时间成本问题,将探究拓展迁移到焦点在x轴的双曲线上,焦点在y轴上的椭圆和双曲线是否得到同样性质结果,让学生课后完成,下一节课用一些时间给大家展示.

1992年，许钧就提出“翻译专业的独立学科地位得不到保证，弊病非常明显。学科的独立地位得不到保证，也直接影响到了翻译人才的培养。”[11]不过面对国际社会间不同文化、经济、社科等领域交流对翻译学提出的要求，译学界开始对翻译学的发展进行了反思，有了将翻译建立为独立学科的基础。

4 应用体验

学生震惊于探究所得的结论,此时的情绪异常亢奋. 笔者抓住时机,告诫学生数学学习要充分感受知识的发生发展,不但要知其然,还要知其所以然,更要做到何由以知其所以然,点出解析几何中的优美统一性质,准确抓住题目的条件特征,这将对解题大有裨益. 接着笔者给出8 道题供学生在课堂与课后应用体验,例题的示范让学生切实感受解析几何优美性质在做解析几何客观小题时,有一种柳岸花明的感觉.

师: 这是个存在性问题,首先要做什么工作?

生1: 假设存在a,使得O,M,S三点共线,求a

师: 好,M是直径SB圆上的点,T为椭圆上点,AB为椭圆直径,应联想到什么呢?

生2: 可以联想到kMS·kMB=-1,kT A·kT B==

师: 他们之间又什么关系吗? 哪两点的斜率是相等的?

生3:kOS=kMS,kMB=kT B

由一位同学口述解决过程:S为直线AT与直线x=a交点, 所以我想方法用斜率kT A表示S的坐标,由AT直线方程为y=kT A(x+a), 即S(a,2akT A), 所以=2kT A,进而a2=2,a=

师: 由于时间关系, 大家课后继续动手实践问题应用2-问题应用8.

问题应用2: 椭圆C:= 1 的上、下顶点分别为A1,A2, 点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],求直线PA1斜率的取值范围.

解由上述性质得kP A1·kP A2=所以kP A2=,又直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],所以-2 ≤≤-1,所以所以直线PA1斜率的取值范围为

解依题意可设直线AQ的方程为易得由上述性质得kAQ · kBQ=, 所以kBQ=, 直线CT的斜率kCT=, 又CT⊥TD,所以直线TD的方程为y=(x - a), 令x= 0,得所以直线AD的斜率kAD=, 因为AD//BQ,所以所以a=1.

问题应用4: (2019年高考全国II 卷理科第21 题)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM和BM的斜率之积为记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程,并说明C什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.

①证明: ΔPQG是直角三角形;

解(1) 由题意得:化简得:= 1(x ̸=±2), 表示焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点).

(2)(I)设PQ:y=kx(k ＞0),设P(x0,kx0)(x0＞0),则Q(-x0,-kx0). 因为PE⊥x轴,所以E(x0,0). 因PQ是椭圆的直径, 由上述性质得kMP kMQ=而kMQ=kEQ=所以kQP ·则kQP=从而kP MkP Q=-1, 故PM⊥PQ, 所以ΔPQG是直角三角形.

问题应用5: ((2018年北京市丰台区一模理科第19 题)已知点在椭圆C:= 1(a ＞b ＞0) 上,F(1,0)是椭圆的一个焦点.

(1)求椭圆C的方程

(2)椭圆C上不与点P重合的两点D,E关于原点O对称,直线PD,PE分别交y轴于M,N两点,求以MN为直径的圆被直线y=截得的弦长.

解(1) 椭圆C的方程为= 1(过程略) . (2)设M(0,m),N(0,n), 因为所以kP M=- m,kP N=-n. 因为DE是椭圆C的直径, 且点P在椭圆C上,所以由椭圆直径性质,得kP D ·kP E=kP M ·kP N=因为以MN为直径的圆的方程为x2+ (y - m)(y - n) = 0, 令y=所以= 0,即x=,故以MN为直径的圆被直线y=截得弦长为

问题应用6: (2018年全国3 卷理21)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1 交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m ＞0).

(1)证明:k ＜;(2)略.

解: (1)证明: 设A(x1,y1),B(x2,y2),则= 1,= 1. 两式相减, 并由=k得+·k=0. 由题设知=1,=m,于是k=①由题设得0＜m ＜,故k ＜

评注在解应用体验题之前,引导学生进一步对本节课的知识与方法反思小结,然后进行迁移,培养学生学习数学的良好习惯. 同时,应用体验题也是检验学生课堂内容的消化情况,通过对应用体验题分析与解决过程,巩固知识方法,深化对数学本质的理解,提高数学能力. 课后继续进行应用体验,让学生有更多持续思考的机会,数学的学习需要主动和持续思考.

5 教学感悟

不是所有的鲜花都能代表爱,不是所有的量变都会引起质变,题海无边,回头是岸. 高三数学复习要“依纲靠本”,要回归教材,挖掘教材,激活教材例题,对例题进行变式和拓展,让学生有进行深度学习数学、理解数学本质的机会. 让学生的变式探究与拓展中,深化对数学本质的理解,训练数学思维和培理性精神,在应用体验中,提升数学能力发展数学素养,在课后探究与应用体验中,让学生持续思考数学问题解决数学问题,培育良好的学习习惯.

只有这样,学生的数学“思能”方能有效的提升,学生方能更好的触类旁通,教师的教学目标方能达成,复习计划方能如期落实,学生才可能有更多的时间与机会做更多有意义的事情. 提高学生解题能力,发展学生核心素养的目的方能真正落到实处.