广东省广州市黄埔区广州科学城中学(510530) 钟凤齐

1 问题的提出

一份关于数学兴趣的调查显示:“非常爱数学”和“爱数学”的两项相加不足15%,而“语文、数学、英语等学科中最不爱数学”的超过60%. 究其原因,主要集中在数学太抽象了,没有兴趣. 纵观我们的课堂,教师过分注重结论和解题的方法与技巧,注重数学的严谨性、逻辑性,导致学生看不到数学被发现创造的过程;以教师讲授为主,学生只是简单的记忆和被动的模仿,不易达到对知识的真正理解,主体性得不到体验;过度关注“知识”却忽视知识背后的“思维”,使学生长期处于“浅思考”甚至“不思考”状态,从而导致学生思维能力发展受阻.

为了改变这种现状,笔者尝试把教学的关注点从“知识”转移到“思维”,运用思维可视化的手段来提高学生的学习兴趣,着力发展学生的思维,帮助学生深层思考.

2 思维可视化在初中数学教学中的初步实践

事实上,将任何抽象的事物、过程变成图形图像等形象化的表示都可以称为可视化. 可视化可分为知识可视化和思维可视化. 知识可视化强调对知识表征的可视化呈现;思维可视化侧重知识表征背后的思维规律、思考方法、思考路径.本文主要阐述思维可视化. 下面笔者就常见四种课型谈谈如何利用思维可视化手段帮助学生促进对知识的理解,让学生展示思维过程,培养学生的逻辑推理能力.

2.1 概念课

概念课是以“符号表征学习”和“概念学习”为主的课型.数学概念因客观现实或数学自身发展的需要而产生,不能简单地给某个数学对象给个名字或下个定义,它是一个知识形成和运用的过程,这个过程一般包括: 概念的引入、概念的明确与理解、概念的巩固和运用三个阶段.

2.1.1 七年级上册第一章”绝对值的概念”

书本对绝对值这么定义: 数轴上表示点a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.

一个具体数字的绝对值相信学生都能掌握, 但一个字母的绝对值很多学生就不会. 特别像: 如果x ＞2, 则|x-2|=____,|2-x|=____这样的题目, 学生错误率就很高了. 如何突破难点? 我们的做法是——画出来.

第一步: 先画一条数轴,在原点处画一个大旗帜. 给出两个具体数字2 和-3,它们到原点的距离是2 和3,在数轴上写|2|=2,|-3|=3.

第二步: 给出两个字母a和b,a ＞0,b ＜0,根据刚才具体数字的经验,它们到原点的距离就是|a|和|b|

第三步: 由前两步的经验所得,a ＞0, 所以|a|=a,b ＜0,所以|b|=-b,而|0|=0

由此推导出绝对值的三条性质.

第四步: 给出三道辨析性较强的题目,学生只有理解好概念才能正确解答.

图1

完成以下题目: 求出x的值

(1)|x|=3 (2)|-x|=3 (3)|x|=|-3|

老师借助上面这个图,由数字类比到字母,继而总结概括绝对值的性质, 老师始终把握住“与原点的距离”这个关键词,所以学生比较容易理解这个概念,面对如果x ＞2,则|x-2|=|2-x|=____这样的题目,也能正确解答了.

2.2 命题课

表达数学判断的陈述句或用数学符号联结数和表示数的关系的句子称为数学命题. 数学中的命题包括公理、定理、公式、法则、性质等.

2.2.1 七年级上册第4 章第3.3 节,余角和补角的性质

(1)同角(等角)的余角相等.

(2)同角(等角)的补角相等.

对于这两个命题,学生的难点在于很难分出题设和结论,因为有同角、等角、余角、补角,太多角了,学生较难理解. 虽然学生会背这两条性质,但没有真正理解,一遇到计算或证明时,就错漏百出. 怎样突破这个难点? 答案是——画出来.

我们可以教学生从三个方面考虑:

第一步: 提炼要素,追问本质

同角(等角)的余角相等,这个命题中有三个关键词: 同角,等角,余角

第二步: 区分概念,理清关系

同角和等角都是相对两个角而言, 他们的余角怎么表示? 他们的联系又怎样表示出来?

第三步: 分析特征,绘制图示

如何把以上要素在一张图中表示清楚呢? 首先要抓住主要特征,互余是相对两个直角而言,我们可以利用平角画出两个直角,旋转其中一个直角得到同一个角. 其次是等角如何表示得更清楚? 可以利用刚才旋转后的两个直角,分开它们就得到两个相等的角. 接下来,如何表示两角之间的互余?用带箭头的线来表示比较好. 最后,还要加上几何语言的描述和文字语言的表达. 这些都理清楚之后,按照合理的结构把他们画出来就可以了. (图2)

图2

这幅图看似简单,但在画图过程中用了提炼、区分、分析及综合等多种逻辑思考方法. 运用同样的方法,也可以把命题2 画出来. 图画完了,不但相关的知识理清了,而且学生也经历了一次有趣的思维之旅,体验到思考的收获和乐趣,乐趣有了,学习积极性自然就有了.

2.3 解题课

解题是数学学习不可缺少的活动. 数学解题课是以“概念和命题的运用、问题解决和创造”为主的课型. 数学解题课包括例题(习题)教学及问题解决教学两大类. 学生会背公式,会背定理,但不一定会解题,解题成了学生心中的痛. 如何帮助学生解痛,可视化手段可以!

2.3.1 人教版七年级第三章“3.4 实际问题与一元一次方程”

例2: 整理一批图书,由一个人做要40h 完成. 现在计划由一部分人先做4h,再增加2 人和他们一起做8h,完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作?

这种类型的应用题,涉及单人和多人实际工作量,而且全部工作量要分阶段完成,所以很多学生理解不了题意,不知道题目知道什么,求什么,更不知道相等关系是什么. 这时,借助思维可视化手段——表格或线段图就可以帮助学生对题目的条件进行归类分析,理清数理关系. 笔者教学生画表格或画线段图,表格一般竖着写对象,横着写元素;画线段图可以分阶段来画,也可以分对象来画. (图略)

2.3.2 八年级下册第十八章“平行四边形的判定”

如图,E、F分别是四边形ABCD的边AB、CD的中点,四边形BFDE是平行四边形,

求证: 四边形ABCD是平行四边形.

这是书本一道比较简单的几何证明题,但由于八年级学生的思维还处于由具体形象向抽象逻辑思维过渡的阶段, 而且以经验型逻辑思维为主, 他们还没有足够的能力进行符号推理, 这时, 我们可以用一种可视化手段——流程推理图,帮助学生整理条件,由问题反推回已知条件,或由已知条件推到问题. (图略)

2.3.3 2018年广州市中考题第23 题

如图, 在四边形ABCD中,∠B= ∠C= 90°,AB ＞ CD,AD=AB+CD,

(1) 利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC与点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法)

(2)在(1)的条件下,

①证明:AE ⊥DE

②若CD=2,AB=4,点M、N分别是AE、AB上的动点,

求BM+MN的最小值.

这种几何题怎么教? 综合性很强, 涉及动点, 求最值问题,学生基本无从下手. 这时,我们可以用可视化的手段——鱼骨图,来把复杂的问题转化为一个个简单问题,把大问题分解成一个个小问题, 把难题回归为一个个熟悉的问题里,这种图称为鱼骨图.

图3 AE ⊥DE 的推理过程

图4 BM +MN 的最小值的推理过程

AE ⊥DE 的图

BM +MN 的最小值的图

我们可以看到,解题鱼骨图主要用来呈现和梳理复杂问题的思考过程,由三部分组成,中间“脊骨”为解题的关键节点,通过这些关键节点可把一个抽象或复杂的大问题分解成若干简单而具体的小问题.“脊骨”下方为策略分析过程,针对解题的关键点进行层层追问,制定解题策略.“脊骨”上方为条件转化过程,根据策略指引,利用已知条件推导出未知条件.

表格、线段图、推理流程图和解题鱼骨图的应用改变了传统教学策略不见的弊端,让学生在解题过程中,掌握清晰的思考程序,形成有效解题策略. 同时,学生在绘图过程中经历了“设疑——追问——冲突(碰撞)——顿悟”的思考之旅,体会到思考的收获和乐趣,同时发展了学生的策略化、程序化的思考能力. 脑子活了,知识也活了,学起来也就不再枯燥乏味了.

2.4 复习课

复习课是学生以“内化学习”为主的课型,目的在于对过去的某一阶段内所学的知识进行梳理,形成较为完善的知识结构和有序的认知结构的过程.

在教学实践中,学完一个单元,因为知识比较零散,大部分学生不会把零散的知识串起来,自主建立知识结构. 知识点百千个,章节之间、知识之间如何连起来,建构成系统的网状知识结构? 思维导图就是一个有效的解决策略. 思维导图就像我们大脑的神经元一样互相连接,一个思考中心,由中心向外发散出成千上万的关节点,每一个关节点代表与中心主题的一个连结,而每一个连结又可以成为另一个中心主题,再向外发散出成千上万的关节点, 呈现出放射性立体结构.学生在制作思维导图的过程中自然就把零散的知识建构到相应的网络中去.

思维导图除了归纳单元章节知识外,还可以归纳某一种题型或一种方法模型. 如相似三角形的判定,初三经过第一轮的复习,学生知道证明三角形相似的模型有A 字型、X 字型、双垂直模型、三垂直模型等等,图5 是学生自己整理的三角形相似的模型,感觉有点乱. 图6 是老师指导学生用思维导图把它归纳整理,两幅图一对比,是不是感觉后者更清晰明了多了,而知识也就更容易被理解和内化?

图5

图6

3 使用思维可视化教学策略的反思

在一年的教学实践中,我尝试以“可视化”的手段来组织我的课堂,所以出现有一系列让学生画图的形式. 我一直在反思,这样的学习模式,真的有效吗? 如果从好的方面来看,还真的可以总结以下几点:

3.1 思维可视化教学策略有利于培养学生的核心素养

近几年,新的课程标准提出要培养学生的数学核心素养,包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析.

数学思维是数学核心素养最重要的部分,也是发展学生数学素养的根基所在. 课堂教学的着力点应由表层深入到内核,必须关注过程而不仅仅是结果. 运用思维可视化教学策略,在知识建构方面,它可以将零散的知识点串成逻辑清晰、层级分明的知识网络,如思维导图. 在解题分析方面,运用思维可视化图示,如鱼骨图、推理流程图、表格、线段图,可以将解题步骤背后的思考过程清晰地呈现出来,使学生更加清晰地掌握有效的思考策略. 在学习体验方面,运用思维可视化教学策略,可以变知识灌输为自主探究,变死记硬背为可视化及结构化思考. 这样,不但可以提高教与学的效能,还能使学习体验由枯燥乏味变得兴趣盎然.

初中生的思维正从形象思维向抽象思维发展,对图示语言更加敏感,因此,思维可视化教学策略的运用符合他们的认知特点,也有利于培养他们的核心素养.

3.2 思维可视化教学策略有利于学生学会学习

课堂上,数学的抽象性和概括性成了压垮学生的两座大山,不少学生已经被数学深深地伤害了. 但思维可视化教学策略能够改变这种状况,它能较快地让学生学会学习. 究其原因,一是直观,它借助图示或图示组合来提高思维信息传递和加工的效能,大脑对“图”非常敏感,所以被画出来的思维更容易被理解、被评价、被迁移. 二是思维可视化在教学过程中始终坚持思维发展重于知识获取. 当图示的直观性与思维的结构性、严密性、概括性结合起来,就可以让学生唤醒学习某类知识的关键策略. 长此以往,学生自然就会学了.

经过一个学年的实践,大部分学生反映数学“好玩了”,不再是“机械重复、死记硬背、题海战术”,老师也发现学生变聪明了,会做题了.

3.3 思维可视化教学策略有利于学习成绩的提升

在实践思维可视化教学策略的一年里,我除了观察学生思维品质的变化外,还一直观察学生的数学成绩. 任何课改,若没有成绩的提升,一切都是白说.

2018 学年我任教初一(3)(4)班,两个班均实行思维可视化教学策略,第一学期末黄埔区统考,成绩和年级对比如下:

3 班4 班年级平均分68.86 分68.35 分68.21 分优分率40%38.24%36.76%合格率74.29%73.53%74.02%

翻阅试卷后,我发现后面两道大题(23 题是复杂角的计算和证明,24 题是动点在数轴上的分类讨论问题),这两个班的部分学生做得比较好,得分优于其他班级这两道大题的得分. 90 分以上的人数对比如下:

班别1 班2 班3 班4 班5 班6 班人数0 1 3 6 0 1

这些成绩给予我进一步实践的信心,也坚定了我继续实行思维可视化的勇气.

3.4 同时,我也在反思,为什么只有优秀的学生成绩能进步,基础差的学生为什么成绩没提升上来呢? 在一年的实践中,我发现有以下问题存在

3.4.1 学生问题

有学生认为画图浪费时间,还不如多做几道题,所以随便应付画图;有学生不知道怎样画图,画错或过于简单,只为了完成任务;有学生过分关注图画好看——可视,却忽略了画图的最终目的——思维.

3.4.2 教师问题

笔者在操作过程中发现在课堂上让学生画图,占用较多的课堂时间;学生的图画出来后,没时间展示学生的图,学生没有改进的机会;有时为了赶时间,老师会直接展示现成的图;这些可视化工具的正确使用需要长时间的训练,需要老师手把手指导学生创作及修正,花大量时间.

笔者认识到: 运用思维可视化技术进行教学,可视化只是手段,思维才是内核,要把图用出效果来,教师必须遵循三个原则: ①必须让学生去画; ②必须给学生展示及改进的机会; ③必须使图与数学内容深度结合.

4 结语

图形是人们认识、理解和表达最好的工具. 一图胜千字,图是最直观的语言,易读、易懂、易记而且记得牢. 思维可视化就是利用图形化、形象化的形式来表达人们头脑中形成的概念、知识、思想等,把隐性知识显性化、可视化,方便人们思考、表达、理解并能促进交流. 思维可视化教学策略为提升教学效能提供了一种新的手段,需要教师改变教学观念,认真学习可视化工具与教学内容的深度整合,并让学生体验到爱思考、会思考、享受思考的乐趣,让学生不仅学会,还会学,甚至慧学,最终全面提高教学成绩.