高中数学教学中类比思维的有效应用
2021-01-10宋茹
宋茹
【摘 要】本文论述类比思维在高中數学教学中对学生认知世界、内化新知的重要作用，提出教师在高中数学课堂中应适时地采用不同方法引导学生进行类比，使学生主动探索数学新知，提升数学综合能力，构建高效、精彩的高中数学课堂。
【关键词】高中数学 课堂教学 类比思维
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）30-0102-02
类比思维指的是根据两个具有相同或相似特征事物之间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征，通常是在两个特殊事物之间进行分析和比较。数学有着完整的体系与结构，很多知识要点之间都存在着一定的类似性，因此，教师可以用类比思维引导学生学习新知。高中数学属于数学教育的高级阶段，教师要积极运用类比思维，指导学生高效学习，帮助他们构建完善的知识网络。
一、利用新旧知识类比，助推学生学习
从小学、初中到高中，数学知识的前后间存在着一定的联系，前者往往是后者的铺垫与基础，后者又是前者的延伸与拓展。在高中数学教学中，要想有效运用类比思维，教师首先要意识到数学知识是一个有机整体，可利用新旧知识展开类比教学，引导学生结合旧知识的某些特征来学习新知识，使其由旧及新地探索数学原理，从而能顺利学习新知识。
如在进行“空间直角坐标系”教学中，教师先带领学生回忆数轴、平面直角坐标系的相关知识，学生知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x来表示，建立平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数（x，y）来表示。接着，教师提问：在初中阶段大家学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？此外，大家也学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？在空间中，是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？鼓励学生结合个人认知与知识基础自由讨论，及时给予点拨与引导，使其在一个正方体中建立空间直角坐标系，总结绘制过程中需要注意的问题。
如此，教师由数轴、平面直角坐标系过渡至空间直角坐标系，让学生用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，可使其进一步了解数学概念和方法产生及发展的过程。
二、结合生活现象类比，辅助学生理解
高中数学知识与小学、初中相比，虽然更加抽象难懂，深度与难度有所增加，但其与现实生活仍然有着密切联系，不仅教材中蕴含着不少生活化元素，生活中更是广泛存在各种数学现象，且应用范围广。在高中数学教学中运用类比思维时，教师要事先认真研究与分析教材内容，找准所授内容同实际生活之间的衔接点，结合生活现象进行类比，带领学生根据生活素材学习数学知识，帮助他们透彻理解新知识。
在开展“集合”教学时，教师可采用谈话的方式引入课题。如军训前学校通知：明天上午8点，高一年级在操场集合进行军训动员，试问这个通知的对象是全体高一学生还是个别学生？学生知道是全体高一学生，并指出这里的集合是生活中常用的一个词语，大家感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，并非个别对象，借此引出新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。接着，教师讲述集合的概念，要求学生罗列一些生活中常见的集合实例，如班内整体学生、男生、女生，高一阶段所学科目，文具盒中的笔，一张课桌上的两个人，口袋中的钱等，用生活实例与数学中的集合作类比，尝试列出集合中的元素，研究元素的特征，使其发现元素具有确定性、互异性和无序性的特征。
在上述案例中，教师紧密结合生活实例引入类比思维，引领学生从生活现象中构建出集合模型，使其通过实例了解集合与元素的含义及基本性质，同时培养他们认识事物的能力。
三、同类知识渗透类比，强化学生记忆
高中数学主要分为函数、数列、概率、解析几何、立体几何、排列组合等知识，这些同类知识之间通常含有一定的类似特征，因此，高中数学教师在课堂教学中，应根据同类知识间的相似性或者联系渗透类比思想，引领学生在类比中学习和探索新知识，使其形成更为深刻的记忆，牢固掌握知识，并增强类比意识。
以“对数函数”的教学为例。教师在本节课中要紧紧抓住指数、对数的相互转化和指数函数的概念、图象与性质等知识点，利用同类知识运用类比的方法讲授新课。教师先带领学生复习指数函数的相关知识，多媒体课件中同步显示指数函数0
教师在教学中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、类比发现新知识，使其结合指数函数的相关知识学习对数函数，有利于他们对知识的理解和掌握。
四、深入类比数学对象，促进学生思考
在高中数学课程教学中，教师应该充分利用好类比思维的相似性，指引学生比较两个既有所区别又存在一定联系的数学对象，找到相似之处，为他们的研究指明正确的方向。而且高中数学教师应指导学生对数学对象进行深入类比并得出结论，使其理解数学对象的类似性，进而训练学生的类比思维。
在“等比数列”教学实践中，教师先用谈话导入：之前，大家已经学习过等差数列的概念、通项公式及其有关性质，会运用这些知识解决一些实际问题，请同学们回顾一下等差数列的基本知识和性质。带领学生回忆等差数列的定义、等差中项、通项公式、前n项和公式等知识，使其知道等差数列是一类特殊的数列。接着，教师要求学生观察教材中的几个例子，并提出问题：在现实生活中，除等差数列以外，还有一类特殊数列，这些数列有怎样的共同规律？让学生仔细观察并找出这几个数列的共同特征，他们发现其共同特点是从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。之后，教师组织学生在小组内进行合作探究，总结类比等差数列的性质，并尝试给等比数列下定义，用类比等差数列推导出等比数列的性质。
教师通过深入类比等差数列与等比数列这两个数学对象，让学生用等差数列的通项公式进行类比推导，探索等比数列的通项公式，能使学生进一步了解数学知识间的联系。
五、注重图形特征类比，增强学生认知
立体几何也是高中数学知识体系中的一大重点，最能考验学生的逻辑思维能力，对其空间想象能力与抽象思维也有较高要求。为做好立体几何知识的教学，高中数学教师可以主动应用类比思维，注重图形之间特征的类比，引导学生寻找这些几何图形中的相同点与不同点，使其在类比总结差异点的过程中，强化自身对数学知识的理解与记忆，最终帮助他们认清知识的特征，有效增强数学认知。
在“空间几何体的表面积与体积”教学中，教师先提出问题：大家已经接触过一些几何体面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆、交流与归纳，设疑：几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？这些问题与学生的固有认知发生冲突，使其对新课的学习充满期待。接着，教师讲述：大家学过正方体和长方体的表面积及展开图，其展开图与表面积有什么关系？课件中同步出示正方体和长方体的展开图，让学生根据已有知识回答，然后引出新问题：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算表面积？如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？使其运用类比思维利用学过的图形研究新圖形。
教师从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析其与表面积的关系，让学生运用类比思维，通过正方体、长方体的表面积来讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，可以强化个人认知。
六、关注数形之间类比，发展学生思维
数学知识主要由代数与几何两大部分构成，前者与“数”对应，后者则与“形”对应，不仅数与数、形与形之间有着或多或少的类似性，数与形之间同样存着相似性。在高中数学教学中，为进一步应用类比思维，教师应当格外关注数与形之间的类比，引导学生借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，使学生学会采用“以数解形”与“以形助数”的方法分析数学现象，探究数学问题，改善他们的思维水平。
例如，在进行“任意角的三角函数”教学时，教师先提问：大家在初中阶段已经学习过锐角三角函数，在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？学生根据描述画出相应的图形，初步实现数学类比，帮助他们回顾锐角三角函数的定义。接着，教师讲述：通过上节课的学习，已把角的概念推广到任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角，那么任意角的三角函数又该怎样定义？引领学生把锐角三角函数推广至任意角三角函数，然后设疑：能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？将锐角的概念推广到任意角时，是把角放在哪里进行研究的？让学生通过画图的方式在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数，同时讨论具体如何定义。
上述案例中，教师关注数形之间的类比，指导学生通过画图，借助单位圆理解任意角的三角函数的定义，培养学生类比、分析以及研究问题的能力，同时渗透数形结合的思想。
在高中数学教学活动中，教师要充分认识到类比思维的实用性，在日常教学中善于发现和制造教学契机，引导学生结合类比思维学习数学知识，使其深入体会新旧数学知识之间的关联性，帮助他们高效率地学习数学，继而增强其数学认知。
【参考文献】
[1]谌述涛.高中数学教学实践中类比推理的应用[J].中学生数理化（教与学），2020（10）.
[2]孔萍萍.浅谈类比法在高中数学教学中的应用[J].中学数学教学参考，2021（6）.
【作者简介】宋 茹，女，汉族，河北房山人，大学本科学历，一级教师，现就职于宁夏回族自治区青铜峡市第一中学，主要从事高中数学教学。
（责编 刘颖恩）
