王霞

【摘要】本文论述基于错题资源改进小学数学课堂教学的实践，提出基于错题反馈，促使新知建立;基于错题分析，促进知识理解;基于错题积累，改进教学方式等策略。

【关键词】错题资源 题目分析 教学实践 改进策略

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）33-0144-05

错题是各学科教学的重要资源，尤其对更强调练习操作的小學数学学科而言，教师需要在教学实践中不断收集各种典型错题，形成错题资源库，并在课堂中开展错题评讲、订正，深入分析错题、变式错题，让学生基于错题的资源以及对错题的合理利用，有效地建立新知、加深对知识的理解与养成良好的学习习惯。

一、基于错题反馈，促使新知建立

教师在新授课之前，可以总结学生在课后练习中出现的错题，并基于这种反馈，调整原有教学方法和策略，促进学生更好地建立新知系统。在新课教学中利用错题资源改进教学，主要从新知教学和新知练习两个方面着手。

（一）基于学情及时调整方法

课堂教学前，一部分家长在家和孩子一起学习教材，一部分家长把孩子送去各种课外辅导班，这在一定程度上提高了学生的知识起点，但他们没有积累相关的生活经验、操作经验，这导致他们在学习新课时容易出现“夹生饭”现象。基于这样的学情，教师要提高新知教学的质量，可以通过“引”和“导”两个步骤实现。

1.以辩引教

在每一节新课中，学生的学习都是有基础的，即具有一定的认知起点。因此，教师在进行教学预设时，应该了解学情，把握学生的认知起点;在教学过程中发现教学目标过于偏离学生认知起点，出现学生对知识的错误理解，需即时调整方法，以符合学生的认知水平与学习特点。

例如，在人教版数学二年级上册《乘法的初步认识》第一课时中，有这样一道题目（见图1），笔者让学生想一想如何解。在答题环节，一名基础相对较好的学生说算式是“6×10”，但大部分学生说不对，因为乘法口诀里最多到“六九五十四”，没有“六乘十是多少”这句口诀，所以他们认为这个算式是错误的，并提出“9×6+6”才是正确的算式。从学生的这个错题中，不难看出学生对乘法意义的理解有所缺失，他们知道乘法是求几个相同加数和的简便计算，但受口诀影响，认为乘数大小不可以超过9。

了解了学生的实际认知情况后，笔者立即修改教学策略，通过以辩引教的方式帮助学生建立新知。

板书：10×6   9×6+6

师：刚才同学们各自阐述了自己的想法，现在请大家想一想，到底谁说的有道理，谁列的算式才是正确的呢。

生1：我觉得第一个更好一些，第二个有点复杂。

生2：其实两个算式的计算结果都是一样的啊，第二个算式中9个6加上1个6也是10个6。

……

教师及时调整教学方法，利用学生的认知差异，引导他们在辩一辩的过程中从加法出发，逐步走向乘法，进一步厘清乃至明确加法与乘法之间的关系，进而理解乘法的本质意义。

2.以范导学

解决数学问题，不仅需要知识基础，还需要生活经验的支撑。但小学生缺乏生活经验是现状，也是问题。小学数学课堂中，教师常出现高估学生经验起点的情况，即学生会算，但不清楚算式的意义，不会联系具体生活经验解决问题。

例如，在人教版数学五年级上册《小数乘法》一课中，笔者进行小数乘小数例题教学后，出示一道题目：有15个小朋友去公园玩旋转木马，每人的门票2.5元，一共需要多少钱？

师：右边竖式中的“75“表示什么意思？

生1：表示75个0.5元。

生2：表示75个1元。

生3：表示75个0.1元。

从学生的回答可以发现，虽然他们能列竖式解答，但对竖式中每一个步骤所指的意思并不清晰。对此，笔者修改策略，主要采取以范导学的方式，让学生在实际的例子中理解数学的意义。

师：你（指生3）说表示75个0.1元，能具体说一说为什么吗？

生3：因为75是用十分位上的数去乘15得出的结果，所以得到的数就是表示几个0.1。

经过师生交流后，学生明白了“75”的意义，即表示7.5元。以此类推，笔者让学生理解竖式中“30”表示什么时，学生很快回答出是表示30个1元，同时理解了将两个步骤的钱数相加，就是最后需要的木马门票钱37.5元。可见，在学生不能理解某个步骤的计算含义时，教师给出范例可以帮助他们迅速理解算式的算理和意义。

（二）基于反馈改变练习梯度

艾宾浩斯的遗忘曲线揭示一个规律：知识的习得要通过一定的练习来巩固。尤其是数学不同于语文、英语等学科，知识需要学生在课堂内外通过大量的练习来巩固、提升。教师在布置练习作业时，可以基于学生的出错点，分层设计题目，使得练习有梯度、学习有温度。

1.调整练习难度

知识的学习应该是循序渐进的，练习也是如此。如果教师不能依据学生的实际水平布置练习任务，那么难度过高则与学生的能力脱节，有拔苗助长之嫌，影响新知巩固;难度过低则令学生只在低水平徘徊，影响后继学习。

例如，教学人教版数学三年级上册《倍的认识》一课时，笔者展示以下题目（见图2），第（1）问比较简单，学生较快计算出答案;虽然有第（1）问作为铺垫，但学生在解答第（2）问时还是没有思路，迟迟不能下笔。总结原因，是该小问的难度较第（1）问大很多，偏离了学生的认知基础，不利于学生新知的建立、巩固。

于是，笔者在教学中设置以下练习（见图3），帮助学生积累一些基本经验，让他们借助这个梯度，逐步提升习题的难度。在图3中，笔者把与黑圆相等数量的白圆圈起来，这样学生能清楚地看到白圆是黑圆的几倍，有利于加深学生对倍的认识。在此基础上，再让学生思考第（2）问，学生更易解出答案。

2.变化练习方式

单一的练习形式会禁锢学生对知识的理解，教师要基于错题反馈，不断变化练习题的题型，让学生接触更多题目变式，增加多样化的解题经验。

例如，在教学人教版数学五年级下册《分数的意义》后，学生能清楚地说明1[13]的意义。但是在下面的练习中（如图4），笔者发现很多学生找不到1[13]的位置。显然学生对分数意义的理解停留在表面，当换一种形式考查就直接暴露了他们认识上的不足。究其原因，笔者总结了两点：第一，教学时教师关注的是把单位“1”平均分成了几份，而缺少对单位“1”本身的关注。第二，教材、习题中单位“1”都是已知的，不需要自行定义。针对这一情况，教师要在习题设计中做出变化，以从不同角度检测学生的掌握情况。在实际教学中，笔者依照这道错题，设计了以下练习（如图5）。

在这道错题变式中，没有限定单位“1”，学生可以先确定“1”，然后平均分4份，再标出[14];或者先标出[14]，再增加3个[14]，就可以确定“1”。这样的练习有助于强化学生对单位“1”的认识，回头再解错题时，更容易锁定准确答案。

二、基于错题分析，促进知识理解

在教学新课后，教师要及时收集和分析学生的错题，以改进后续教学与相关练习题的教学策略，促进、巩固学生对知识的理解。

（一）改进连续课教学

一个数学知识点的教学，通常需要分几个课时进行。这些课之间有连续性，所以称为“连续课”。在连续课的教学中，分析错题并依其结果进行下一节课的教学设计，会显得更有针对性。联、补、整是教师改进连续课教学的三大策略，其能促进课堂教学效率显著提升。

1.整体关联

寻找课之间的整体联系，即要求教师在新授课时能够整理前后知识之间的联系，减少教学中错误的产生。

例如，笔者在教学人教版数学五年级上册《多边形面积计算》一课时，出示了一道练习题（见图6）。读题后，学生一下子找不到解决问题的关键，只想到了阴影部分的面积可以用大面积减去小面积。是题目太难了吗？其实不然，只是学生没有形成动态的解题思路，而教师在新课教学中忽视了这方面的引导。

其实，在图形的教学过程中，教师不仅要关注计算的方法，而且要关注不同图形之间的关系，引导学生从整体上去比较、反思图形，感受它们之间的联系，体会其中的“转化”思想。多边形面积计算教学中，不管是平行四边形、三角形还是梯形的面积计算公式推导，进行图形转化的方法虽不同，分别有平移、旋转、翻转等（如图7），但背后的本质是相同的，都是把未知转化成已知。可见，找到知识之间的内在联系，学会用动态的眼光去看待问题，积极培养动态思维，有利于提升学生数学能力，避免出现错题。

2.补充例题

每节课之间都是递进关系，又有各自清晰的教学任务。上一节课的知识没有掌握扎实，自然会影响下一节课的学习。这里提及的“补”的策略，是指对上一节课的不扎实之处进行补充教学，即据相关错题补充例题，弥补学生的短板。例如，人教版数学三年级上册《万以内加减法二》这一单元，第一节课内容是万以内加减法的不连续进位加法，学生在做练习题时易错点是忘记进位（见图8），因此笔者在教学第二节课《连续进位加法》时，适当修改例题（见图9）。

修改后的习题增加了更多信息，如“245+127”“245+298”“127+298”等。这样设计题目不仅增加了练习的量，并且能让学生在练习中理解有些计算是只进位1次，有些连续进位，有些是不连续进位等知识点，如“245+127”只进位1次，“245+298”“127+298”连续进位2次。针对学生的错题补充这道练习题，能有效地突破教学难点，促进学生笔算技能提升。

3.整合习题

出现错题，除了学生自己的原因，还有教师教学设计，甚至教材编排等原因。教师要对错题追根问底，找到具体的原因，再根据原因改进教学，把相关的错题整合在连续课的巩固或拓展练习中，帮助学生进一步厘清知识的结构和内在联系，提升课堂教学效率。

例如，人教版数学二年级下册《有余数除法》一课的练习题中，有一道是：一共有28盆花，每5盆摆成一组，最多可以摆几组？还剩几盆？学生解这类题存在的困难是不知道什么时候用“进一法”，什么时候用“去尾法”。分析错因，主要是教材編排的例题比较单一，都是采用“进一法”。课中教师对例题讲解相对详细，使得学生对其印象更为深刻。虽然巩固练习中有“去尾法”的应用，但教材没有把两种方法进行整合，也没有相应的补充练习，学生无法将这两种方法很好地整合应用。对此，笔者认为可以在连续课的巩固练习中增加整合的习题（见图10）。

这道整合习题中包含着两个问题，其解题思路迥然不同，如第一个问题：如果都坐大车，至少需要租几辆大车？计算时用37除6，等于6余1，要满足所有人都要坐车，则要采用“进一法”，即在6的基础上加1，答案为至少需要租7辆大车;第二个问题：可以坐满几辆小车？还剩几人？意思是没有坐满就不用算，因此计算时用37除4，等9余1，采用“去尾法”将1去掉即可得到最终答案。在一道习题中整合两种方法，引导学生展开对比、分析，进一步理解“进一法”和“去尾法”的内涵。

（二）改进练习课教学

以学生的错题为资源，通过对比、分析、修改等方式不断变式错题，可以帮助学生更好地巩固旧知，提升学习能力。

1.反思引入

在练习课中，教师需要选择典型、有价值的错题，引导学生进行讨论、对比与交流，让学生明确错因，找到解决问题的办法，从而更好地掌握知识。例如，在教学人教版数学四年级上册《多位数除以一位数》一课后，笔者给出一道商中间有“0”的除法习题，许多学生没有答对。结合这道错例，笔者先剖析错因：在列竖式计算时，学生忘记用0来占位，所以导致结果出错。在教师的提示下，学生重新计算，获得正确的商（见图11）。可见，通过呈现错题，让学生交流、反思错误，可促进知识理解。

2.多样结合

错题往往是学生较难理解的内容。教师在讲解错题时，如果发现效果不好，那么可以在练习课中改变教学形式，把错题与情境、图形、表格等内容结合起来，帮助学生更好地理解题意，然后准确解题。例如，人教版数学四年级上册《多位数除以一位数》一课的习题420÷4，其商中间有“0”，学生列竖式计算时容易出错。对此，笔者利用小棒图示帮助学生构建直观的画面（见图12），使其理解中间的2捆小棒不能直接分，要按照20根小棒来分，这样每份得到5根，而5要写在个位上，十位没有数字则用“0”占位。

3.变式巩固

对学生而言，听过的、看过的习题，都不如做过的习题印象深刻。因此，教师仅仅讲解错题和让学生讨论错题是不够的，还需要设计相应的变式练习题。例如，人教版数学四年级下册《小数的近似数》中一道错题（见图13），笔者将其进行两种变式（见图14和图15）。变式一是把近似数的数位进行简单改变，是针对典型错题的简单巩固;变式二则是对错题的正向巩固，会涉及0的处理。通过这样的变式练习，学生不断调整找近似数的策略，从而加深对近似数的理解。

三、基于错题积累，改进教学方式

（一）海量积累资源

教师大量收集与整理错题，并进行相应的分析与处理，寻找到错题之间的联系，可以有效改进教学。

1.分类错题，关注本质

教师把同一单元或相类似的错题进行分类整理，并对分类的结果进行深入的分析，从中归纳总结学生在某一类题出错的根本原因，直达问题的本质，提炼解题策略。

例如，人教版数学四年级下册《运算定律的复习》一课中，笔者总结发现乘法分配律的变式最多，学生错题也较多，主要出错点有公式混淆、运算定律之间张冠李戴、没有简算意识、不能灵活简算、容易受特殊数据的影响等（见图16）。笔者在复习课中观察、修改错题，帮助学生从运算定律中找到错误原因，然后提供一定量的练习题，使学生在练习中不断巩固算法。

2.精选错题，拓展思维

在不断练习的过程中，学生出现的错题逐渐增加，错题涉及方方面面的知识，教师在课堂中难以做到对每一道错题都讲解分析，只能精选典型错题，通过分析典型错题引导学生触类旁通，使其在不断解决同质问题的过程中，体味方法，自主建构模型。例如，教学人教版数学六年级上册《分数应用题》一课，笔者发现分数应用题是小学数学学习的难点，学生对题目中的“率”和“量”容易混淆和出错。借助这样的错题，教师可以不断变式题目，使学生接触更多的学习资源。如根据图17中的题目，变化出三种类型的题目（见图18、图19、图20）。

通过对比变式一与原题，可以让学生明确“量”和“率”可以通过最直观的单位名称来区分;通过对比变式二与原题，可以让学生理解比较“量”与“率”的大小，取决于单位“1”的量是多少;通过观察变式三，比较题中“用去的”和“剩下的”的大小，可以让学生明白“量”和“率”在比较部分和整体的关系时起不同作用。这几道变式题，进一步强化学生对“量”和“率”之间的区别、联系、作用等方面的理解，进而帮助他们拓宽思路，积累解决类似问题的经验。

（二）重视多样积累

错题是一种教学资源，教师与学生均要重视其多样化积累，对教学中、作业中、考试中或者课外补习中遇到的错题，要及时记录下来，并在后期进行整理与分析，找到错误原因与准确解题方法，由此不断改进教学。

首先，教师在平时的教学中，挑选学生易错题、典型错题，分年级、分单元进行整理与记录，建成电子错题库。在这个错题庫中，教师可以根据教学需求补充相应的内容，如错题原型、错题变式、变式题正确率、变式题错误原因、教学对策等。这样的错题资源库不仅对当前的教学具有较大价值，并且可以不断沿用、继续补充，对教师今后的教学也有相当重大的借鉴作用。其次，教师收集与整理的错题量、错题型是有限的，需要学生发挥主观能动性，在日常的学习中注意收集错题，自主建成错题记载本，积累更多的错题资源，以起到引以为戒的作用，促进学习效率提升。

在小学数学教学中，收集错题、研究错题，不仅可以改进当下的教学，对未来的教学也有很大的价值。因此，教师要重视数学错题资源的应用与研究，并且不断坚持下去，以帮助学生更好地学习数学。

【参考文献】

[1]孔凡哲，曾峥.数学学习心理学[M].北京：北京大学出版社，2009.

[2]盛群力.教学设计[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]毕田增，周卫勇.新课程教学设计[M].北京：首都师范大学出版社，2004.

[4]张天孝.小学新思维数学研究[M].杭州：浙江大学出版社，2011.

【作者简介】王 霞（1980— ），浙江杭州人，大学本科学历，一级教师，浙江省杭州市长河小学教导副主任，研究方向为小学数学教学。

（责编 黄健清）