李文娟 冯维明 王少伟

(山东大学土建与水利学院，济南250061)

小变形概念是材料力学中非常重要的概念之一，涉及到几何近似。材料力学中的众多定义和演绎都是在小变形假设前提下完成的[1-3]。而利用小变形的概念建立变形几何关系(或称变形协调方程)是求解超静定结构的关键所在，且引起许多高校任课教师的关注。常学平等[4]基于小变形假设对某超静定结构采用不同的几何分析来建立变形协调方程，并做了有益的比较。邓宗白等[5]对不同的几何分析中带来的误差进行了详细分析，表明小变形假设的合理应用所产生的误差是可以接受的。周道祥[6]和熊慧而等[7]提供了利用小变形假设对较为复杂的超静定结构建立变形协调方程的方法。但鲜有文章考虑小变形假设的实质，如认识不清，有可能从看似合理的变形分析得出错误的结果，本文正是通过超静定结构建立变形协调方程的过程中产生的误区，分析了小变形概念的本质，即对高阶无穷小量的理解，指出了在变形分析中应用小变形假设的条件。

1 问题的提出

在材料力学绪论中，小变形假设是这样叙述的：“假设实际构件的变形以及由变形引起的位移与构件的原始尺寸相比甚为微小。这样，在研究构件的平衡和运动时，仍可按构件的原始尺寸进行计算”[3]。在研究拉压超静定问题中，许多教材都会讲到这个例题。

如图 1(a)所示的三杆桁架为一次超静定问题。设1和2两杆的抗拉刚度为EA，杆3的抗拉刚度为E3A3；……