梁晓龙 鞠实儿

1 引论

首先，有穷是人类知识中最为常见的概念之一，更是逻辑学的核心概念。如逻辑系统中的合式公式和定理的证明长度都是有穷的。在现实世界中，有穷体现为施加在对象及其发展过程的可量化特性上的限制：如个体获得的知识总量、计算机储存的数据量、计算机的计算能力、物体运动的速度等物理数值都是有穷的。而无穷可以看作是有穷的否定概念，常用来刻画理想对象的数量特征：如图灵机的纸带长度、集合论中的自然数集等。

另一方面，数学和物理领域以及日常经验生活中的事物，通常都具有可变性。我们将事物拓展的过程称为开放过程。为了明确起见，本文主要研究可构造的开放过程，如递归构造自然数的过程。1将归纳构造自然数看作自然数的构建过程，这一观点可以参考[1]。在该文中，布劳威尔（L.E.J.Brouwer）分析“two-oneness”的直观时使用到“process”一词。此外，在[2,3,5]等文献中，也都用到“process”一词来描述计数、论域扩充（extending the domain）、树和子树等概念。而开放过程所产生的那些成员数可扩展的类则被称为开放类。例如，上述递归过程生成的自然数所构成的类。反之，我们将那些成员数固定不变的类称为封闭类。类中的成员称作对象。

其次，有穷/无穷和开放/封闭这两对概念之间有密切关系。事实上，对任一组对象组成的类，都可考虑它是否具有开放性。而当对象类具有开放性，或为开放类时；就有必要探讨相应的开放过程是有穷的还是无穷的，以及是否存在确定的过程完成后不再变化的结果。……