杨睿之

1 引言

上世纪八九十年代以来，随着夏皮罗（S.Shapiro）、赫尔曼（G.Hellman）以及帕森斯（C.Parsons）等人的推动，数学哲学的结构主义（Structuralism）一直是数学哲学公开发表中的热门议题。然而，本文试图质疑，数学结构主义以及围绕它的热烈辩论是否如之前的数学哲学议题那样深刻地影响了数学的发展，或者实实在在地促成了许多数学成果的发现。

数学结构主义起源于对集合论基础主义（set-theoretic foundationalist position）的批评。以一阶逻辑为代表的现代谓词逻辑起源于弗雷格（G.Frege）为数学寻找基础的努力。而策梅洛-弗兰克尔公理化集合论（Zermelo-Fraenkel set theory），在某种意义上，起源于弗雷格逻辑主义的灾难——罗素悖论。自那以后，公理化集合论被广泛接受为数学的基础。人们是在下述意义上称公理化集合论是数学的基础的。首先，几乎所有的数学概念都可以在集合论语言1只含有等词和一个用来表达属于关系的二元谓词符号{∈}的一阶语言。中被定义。在这些定义之下，几乎所有的数学定理都可以被看作是集合论公理系统ZFC 的内定理，并且涉及的数学对象都被定义成一个个集合。例如，自然数被定义为有穷冯·诺依曼序数（von Neumann ordinal）：∅,{∅},{∅,{∅}},...。由此，关于数学对象的本体论问题至少在字面上可以归约为关于集合的本体论问题。而正是后者引起了贝纳赛拉夫（P.Benecerraf）等数学哲学家的不满。

在[2] 中，贝纳赛拉夫提出数学对象的认定难题（Benacerraf’s identification problem），其主要论据就是自然数结构N=(N,≤,+,·)在集合论中可以被定义为不同的集合，但彼此作为结构是同构的。传统上，集合论学家往往采用有穷冯·诺依曼序数作为自然数结构的论域。……