杨跃

1 引言：谈谈紧致性

语言及其指称的讨论在哲学中甚至在生活中都屡见不鲜。为了不离题太远，我们只考察一个比较容易刻画的问题：能不能用语言精确地描述一个数学结构？这样说有些模糊，因为“语言”和“精确地描述”都可能有不同的解读。我们必须引进数理逻辑的术语把问题更准确地叙述成：

问题：是否存在一个（一阶）语句集S，使得任何两个满足S的数学结构都是同构的？

答案不难，只需对数理逻辑稍有了解，但有意思的是结论依赖于所讨论结构（或“世界”）的大小。

断言1如果一个数学结构A中只有有穷多个元素，则满足上述问题条件的语句集S存在；甚至只要一个语句就够了，即，存在单个语句σ，使得A满足σ，且任何满足σ的结构B都同构于A。

证明思路很自然：先考虑结构涉及的关系和函数是有穷的情形。我们只需把A里面元素之间的关系和函数列成一张大表，可以证明这张表是有穷的。σ基本上就是把这张表的所有信息记录下来。如果结构涉及的关系和函数是无穷的，则需要先论证其中存在一个有穷子集，只要在子集中的关系和函数上表现相同，则在所有关系和函数上都表现相同，这样就归约到了第一种情形。

那么无穷的结构呢？

断言2如果一个数学结构A中有无穷多个元素，则不存在一个的语句集S（这里S可以是无穷集合），使得A满足S，且任何满足S的结构B都同构于A。

断言2 的证明要用到数理逻辑中的紧致性定理（Compactness），也就引出了我们的主题。……