寇亮

1 引言

大基数1一个序数κ 是基数当且仅当|κ|= κ。并非所有的序数都是基数，例如ω+1 不是基数，因为|ω+1|= ω。是集合论中的一个主要研究领域。所谓大基数公理2以可测基数为例，一个基数κ 是可测基数当且仅当存在κ 完全的非主超滤。加入可测基数的大基数公理即：存在可测基数。有时，大基数公理并不是断言某个很大的基数存在，而指它的一致性强度很强，例如“0♯存在”是一个大基数公理，但它断言的是某种非平凡初等嵌入的存在。我们说大基数公理A 比B 强，若在ZFC+A 中能证明ZFC+B 一致。所有大基数公理+ZFC 都能证明ZFC 一致。本文既强调大基数的客观存在性方面，也强调它作为备选公理的一致性一面，因此有时使用大基数一词，有时使用大基数公理一词。，是一些无法在ZFC 中证明的、但和序数的本质紧密相关的命题。

自然的问题是：既然ZFC 无法证明大基数的存在，那么为什么对它的研究会成为集合论的一个重要分支？为什么有集合论学家相信它的一致性，甚至相信它存在？3有些大基数公理断言某个集合存在，而有些大基数公理仅仅是一个强度较强的断言。一致性与存在性也并不总是相同，例如，我们可以相信PA 是一致的，但并不接受自然数作为客观对象存在。

以上问题涉及如何对集合论公理进行辩护（justification）。哥德尔在其《什么是康托尔的连续统问题》（见[5]）一文中最早引入了两种对集合论公理辩护的方式：内在辩护和外在辩护。尽管在讨论集合论公理的文献（可见[4,8,12,13]）中多有对内在辩护和外在辩护二词的提及，但仍有诸多不清晰之处有待研究。……