杨文君

(无锡市育红小学，江苏无锡，214000)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，数学是研究数量关系和空间形式的科学。简单说就是研究“数”与“形”的科学。数是形的抽象概括，形是数的直观体现，在一定条件下可以相互转化。数形结合思想就是通过“数”与“形”之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。小学数学教材在很多内容中都渗透了数形结合的思想，其主要教学实践形态是渗透。教师要以内容为载体有意识地渗透，让学生在活动中体验、感悟和领会数形结合思想，发展其数学思维能力。

一、以形助数，体验数形结合思想

波利亚指出:“图形不仅是几何题目的对象，而且对任何一开始跟几何没什么关系的题目，图形也是一个重要的帮手。”将“数”的问题用“形”来直观描述，能使某些抽象难懂的问题生动化、形象化，易于学生理解和掌握。

(一)利用数轴形象理解抽象概念

概念是知识的核心，它不仅是知识的基础，也是抽象思维的基础和基本形式，学生只有充分理解才能熟练运用。有些概念具有较强的抽象性与逻辑性，小学生在认知与理解时会比较困难。如苏教版五年级“小数的近似数”一课，当学生根据四舍五入法得到1.496亿千米≈1.5亿千米，1.496亿千米≈1.50千米后，教材指出“1.50比1.5更精确”。在此，教师可以启发学生先在数轴上找出这两个数的对应点(见图1)，然后进一步找到四舍五入后是1.5和1.50的数分别在什么范围。学生从数轴上直观地看出近似数1.5的取值范围远大于近似数1.50，从而理解了“1.50比1.5更精确”的真正含义。

数轴是数形结合最基本的载体，是数形结合最基础的渗透，这里将抽象的“数”放在具体的 “形”上，让数和点建立对应关系，通过查找有形的区域，让抽象的概念变得具体可视。

图1 在数轴上找对应点

(二)利用面积图直观探索运算法则

图2 面积图

数学算式是抽象化、符号化的语言，计算教学不仅要讲清楚“怎么算”，也要重视在理解算理的基础上提高计算技能、培养数感。面积图可以把算式形象化，使学生记忆深刻，理解算理。

(三)利用线段图巧妙解决实际问题

解决问题教学是发展数学思维的重要渠道，也是学生学习的难点之一。当遇到关系较复杂的实际问题时，画出示意图能化繁为简，有助于学生找到解决问题的思路和方法。例如，六年级“分数与除法”中有这样一道习题:小林从家去图书馆，走了20分钟后离中点还有400米，这时已走路程和剩下路程的比是2∶3。小林家离图书馆多少米？仅看文字很多学生认为解答有困难，但引导学生结合题意画出线段图(见图3)后，学生借助线段图能清楚看出400米对应的分率，可以巧妙地解决问题。

图3 线段图

线段图是理解抽象数量关系形象化、视觉化的工具，能帮助学生有效获得数学信息并加以整合，提高学生分析问题和解决问题的能力，感悟数形结合的优势。

二、用数解形，感悟数形结合思想

借助数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”。在小学阶段主要体现在图形与几何领域。教师在教学中有效的数形结合设计，能让学生感受到数据对图形细致入微的刻画。

(一)用数据精确表述图形的性质、特征

对几何图形的认识与理解离不开数和算式，有时仅凭直观观察看不出特征或规律，需要借助测量和运算才能得到具体的结果，进而作判断。教师在认识图形特征的教学中要重视让数说话，用数据精确表述图形的性质、特征。比如三年级“认识长方形”一课，可以通过观察不同的长方形，围绕“有什么共同特征”这一问题步步追问，引导学生关注边和角，数一数边和角的数量，折一折、用尺量一量边的长度，通过具体的数据明确对边相等，用三角尺的直角比一比知道有4个直角，测量长方形的长和宽，能用“长6厘米、宽4厘米”描述某个长方形。

用数可以精确刻画图形的度量特征，让学生体会研究图形的特征离不开数的表达。

(二)用数据精确测算图形的周长、面积

图形的周长与面积是几何中最基本的度量概念，它们都是数。周长和面积的教学核心是如何测量。如在教学长方形的面积计算时，教师可以先在长方形里铺满单位面积的小正方形，用数格子的方法测量出长方形的面积，进而关注格子数与边的长度之间的关系(见图4)，帮助学生沟通“用面积单位度量面积”与“度量长度计算面积”之间的联系，理解长方形的面积计算公式，体会到利用测量数据计算面积的优越性。

通过测量计算，用算术的方法解决周长、面积等几何问题，学生能体会用数表述的精确和便捷，感受“以数解形”，感悟数形结合思想。

三、数形互译，领会数形结合思想

数形结合是“数”和“形”本质的相互呼应，数和形之间的转化常常是双向的，其重点是代数和几何之间的联系。

(一)用数对准确注解图形的位置与变换

在四年级“用数对确定位置”一课的教学中，教师先要将同学们熟悉的座位平面图抽象为比较形象的直角坐标系，把物体抽象成点，平面上的每个点就能有唯一的数对来表示，建立数对和点之间的一一对应关系。接着，教师可根据数对来找平面中的点，体会用一对有序的数可以唯一地确定平面上的一个点。这是一个 “由形到数”，再“由数到形”的过程。练习中，教师可安排找出如(x,4)，(6,y)所表示的点，使学生感悟到根据数对的不同特征，在几何中表现为不同的线。用数对表示平移后顶点的位置时，学生还能自发进行有序数对的运算。

数形结合可以让学生领会用数可以表示几何对象，数对的变化体现了图形的位置、变化等特征，为将来要学习的直角坐标系奠定坚实的基础。

(二)正反比例关系与几何图像互析

可以把具有正反比例关系的两个量在直角坐标系中表示出来，实际上就是正比例函数、反比例函数的图像。六年级学习的“正比例图像”是正比例函数图像在第一象限的部分。在学生充分理解正比例的意义的基础上，教师可引导学生用“描点法”画出正比例图像，初步认识正比例图像的特点，借助形象的图像，让学生直观感知两个量之间相互依存的关系。判断两个量是否成正比例关系，可以根据图像是一条过原点的直线这一 “形”的特征，也可以根据点所表示的实际意义计算比值，用“数”的表征来判断。(见图5)

图5 根据点所表示的意义计算比值

学生借助正比例图像解决简单的实际问题，能感受正比例图像的应用价值。教师可引导学生算一算，感受在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透，初步感知函数与图像的联系。

数形结合思想的渗透和领悟是一个不断丰富、反思、提升的过程，教师要善于捕捉形形色色的数与形，在教学中有意识渗透、适时提炼、明确指出，让学生感知数形各有各的价值，彼此有着十分密切的联系，并能在潜移默化中有意识地应用数形结合，将它逐步内化为自己的思想方法。