蔡玉书 整理

2020年全国高考数学试题总体比较平稳，下面精选几个试题加以分析.

试题1(2020年全国卷Ⅱ理17)已知△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.

解(1)由正弦定理得a2-b2-c2=bc①，

又由余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA②，

(2)方法1 若BC= 3,即a= 3，设周长l=a+b+c=3+b+c.

方法7 设b+c=t(t>3),则c=t-b,代入余弦定理b2+c2+bc=9，则关于b的一元二次方程b2-tb+t2-9=0有正根.

设f(b)=b2-tb+t2-9，由根的分布可得

(李家鑫重庆复旦中学 400012)

(1)求椭圆E的方程;

(2)证明：直线CD过定点.

(2)设C(x1,y1),D(x2,y2)，点P坐标为(6,t)(t∈R),主要讨论t≠0(t=0时，直线CD与x轴重合).

评注处理直线和圆锥曲线问题时，常用方法就是设而不求.通过相关交点法引入参数，得到含参方程，由方程对任意参数恒成立求出定点.

联立方程整理得(x1+3)y2=3(x2-3)y1,即2λy1y2-(m+3)(y1+y2)+2(2m-3)y1=0.

(刘小树安徽省固镇县第一中学 233700)

(林琳福建省仙游金石中学 351200)

(1)求椭圆C的方程；

(2)点M，N在椭圆C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得DQ为定值.

(2)设点M的坐标为(x1,y1)，点N的坐标为(x2,y2).若直线MN不与x轴垂直，设直线MN的方程为y=kx+m.

又点M，N在直线MN上，则有(x1-2)·(x2-2)+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=0.

整理得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0. ①

由于点A(2,1)不在直线MN上，故2k+m- 1 ≠ 0，故2k+3m+1=0且k≠1.

(董林山东省高青县教学研究室 256300)

试题可以推广到一般情况：

这是θ0，θ1，θ2之间应满足的关系式.

当PA或PB的斜率不存在时， 不难证明结论也成立.

(王晨江苏省苏州第一中学校 215006)

(王建伟中国科学技术大学 230026)

解法1当x=0时，a∈R.

解法2当x=0时，a∈R；

令h(x)=x2+x+1-ex(x>0)，则h′(x)=2x+1-ex，h″(x)=2-ex.

令h″(x)=0，则x=ln 2，则当x∈(0,ln 2)时，h″(x)>0，h′(x)单调递增；当x∈(ln 2, +∞)时，h″(x)<0，h′(x)单调递减.

又h′(0)=0,h′(1)=3-e>0，h′(2)=5-e2<0,所以存在x1∈(1,2)，使h′(x1)=0.

于是当x∈(0,x1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(x1,+∞)时，h′<0，h(x)单调递减.

又h(0)=0,h(1)=3-e>0,h(2)=7-e2<0，所以存在x2∈(1,2)，使h(x2)=0.

于是当x∈(0,1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x∈(1,x2)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(x2,+∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减.

(洪汪宝安徽省安庆市第一中学 246004)

图1

试题6(2020年全国新课程卷Ⅰ题20)如图1，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l.

(1)略;(2)已知PD=AD=1，Q是l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

解法1因为l⊂平面PBC，Q∈l，所以Q∈平面PBC.在平面PQC中，设PB∩QC=E，在平面PAD中，作过点P作PF⊥QD于F，连结EF.因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥PD.又DC⊥AD，AD∩PD=D，PD，AD⊂平面PAD，故DC⊥平面PAD.因为PF⊂平面PAD，所以DC⊥PF.又PF⊥QD，QD∩DC=D，QD，DC⊂平面QDC，故PF⊥平面QDC,从而∠FEP即为PB与平面QCD所成角.

图2

解法2如图2,延长CB至G，使得BG=PQ， 连结GQ，GD，过点G作GM⊥平面QDC于M，连结QM，则∠GQM即为所求.

解法3如图3,先将P-ABCD补形为正方体，再在正方体后面补一正方体.由图可知P′C∥PB，过点P′作P′H⊥QD于H，易证P′H⊥平面QDC，故∠P′CH即为所求角.

图3 图4

图5

(张海泉江苏省兴化中学 225700)