常建伟

[摘  要] 平面解析几何综合题综合性强，运算过程复杂，方法灵活多变. 有的学生在解题过程出现思路受堵，运算烦琐. 学会借助预判思维指引解题，通过目标预判，明确解题方向;通过方法预判 优化解题策略;通过结果预判，修正解题过程，从而有助于既快又准地解题.

[关键词] 解析几何;预判思维;圆锥曲线

平面解析几何综合题可与函数、方程、不等式、三角、向量、平面几何等知识交汇考查，往往题目综合性强，运算过程复杂，方法灵活多变. 解此类题型时，有的学生思维方向容易迷失，无从下手;有的学生方法选择不当、运算准确性不够. 若在解题过程中能合理运用预判思维，有助于引领思路，优化解题过程，甚至达到事半功倍的效果. 下面就以解答平面解析几何综合题为例，从三个方面谈谈预判思维在解题中如何合理使用，希望对学生的解题有所启示.

目标预判，明确解题方向

在解决存在性、探索性等问题时题目未明确给出结论时，我们要充分挖掘题目条件，整体建构好解题思路，采用特殊化、极端化等方法预判出可能结论，将不确定性问题进行目标明确化，再进行结果验证.

例1：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：■+■=1的左顶点为A，点P，Q是椭圆C上的两个动点.

（1）如图1，当P，O，Q共线时，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，求证：■·■为定值;

（2）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，当k1k2=-1时，证明：直线PQ经过定点R.

试题分析：本题第一问求■·■是定值，可以通过特殊法先预判出定值结果，由于P，Q两点的运动变化性，不妨取P，Q两点为短轴的两端点，则P，Q两点即为M，N两点，得■·■=1. 具体写解题过程时可设点P（x0，y0），Q（-x0，-y0），再将M，N两点坐标求出，可得■·■=4+■=1. 第二问若采用一般性解法，先设斜参求出直線PQ的方程，然后化简方程，结合直线系的思想与参数无关进行求解定点，不少学生解题时往往在最后求定点时“卡壳”，因方程复杂，目标定点不明确，无从下手，少数学生的运算基本功扎实、式子处理能力强也能求解.若能结合预判思维，问题便能迎刃而解.由椭圆的对称性可预判直线PQ过定点，在x轴上，采用特值探求，可令xp=xq或令k1=1，k2=-1，则可求出直线PQ与x轴交点坐标，既直线PQ过定点-■，0，最后用一般化方法验证. 验证的过程便体现了解析几何的思想：用代数的方法研究几何问题.

例2：如图2，过椭圆C：■+■=1内一点A（0，1）的动直线l与椭圆相交于M，N两点，是否存在与点A不同的定点B，使得对任意过点A（0，1）的动直线l都满足■·■=■·■？若存在，求出定点B的坐标;若不存在，请说明理由.

试题分析：本题是探索性问题，按常规思路设点直接求解，参数较多，运算复杂，解题很难走到最后.若能打开思维，充分挖掘条件中蕴含的几何特征，便能预判出可能的结论. 假设点B存在，先取直线l平行于x轴时，由几何特征知点B在线段MN的垂直平分线即y轴上，再取直线l垂直于x轴，可得点B的坐标只可能是（0，2），然后进行一般性验证.本题中的一般问题特殊化是破题的关键，也是解析几何直观性的体现.

方法预判，优化解题策略

解答解析几何综合题时为优化解题，降低运算难度，常会面临着点参、斜参、角参的选择. 学生在解题时要掌握解析几何的思维特征和基本思想，根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质，结合自身已有方法经验选择合适的参变量、公式、坐标系进行解题预判，从而做出更合理的解题策略选择.

例3：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：■+■=1，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P，求证：AP⊥OM.

试题分析：问题中要证明AP⊥OM，斜率积和向量数量积两个角度都可以刻画垂直关系，但都需求出点P和点M的坐标，此处涉及参数的选择的问题，可直接设点参求解，也可设斜率参数表示点的坐标. 本题解题方法比较多，如何选择相对能优化解题过程，减少运算？可做出以下解题方向预判. 若设点参解题，则选择点M较好，由于点M横坐标已知，然后求出直线BM与椭圆交点P;若设斜率参解题，则直接将点P通过斜率参表示出来求解;若能进一步发现A，B两点关于原点对称，由圆锥曲线“第三定义”知kPA·kMB=kPA·kPB=-■，可直接将直线AP，BM用同一个参数k表示，则本题可得到快速求解.不过还是要提醒学生注意，一旦解题目标确定，预判方法可行，就要坚持算下去，有时坚持比方法更重要.

例4：已知椭圆■+■=1，设直线l：y=kx+m（k≤■）与椭圆C相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围.

试题分析：本题是直线与椭圆的综合问题，求OP的取值范围需将点P的坐标表示出来. 在平行四边形OAPB中，■=■+■，则点P坐标为（xA+xB，yA+yB）. 将直线代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，再结合条件列出|OP|关于k，m的函数，进行求解处理时发现再消参困难，运算烦琐，容易出错，甚至解题受阻. 那用设点法能不能处理呢？做出以下预判，将题目条件重新组合，通过点P与点A、点B的坐标关系，联想到点差法，可将点P的坐标与斜率k的关系找出来，再结合椭圆方程即可求解点P的坐标. 本题答案：■≤OP≤■.

结果预判，验证解题过程

对解题过程中的一些阶段性结果的准确性进行预判，若与解题目标不符，则及时修正调整.

例5：已知圆A的方程为（x+1）2+（y-2）2=20，过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P，直线l1的方程为x+2y+7=0.（1）当MN=2■时，求直线l的方程. （2）■·■是否为定值？如果是，求出其定值;如果不是，请说明理由.

试题分析：有的学生在第一问出现少解情况，错误的原因是设直线方程时未考虑斜率不存在的情况. 其实解题过程中通过结果预判可及时发现错误.因为点B在圆内部，而弦MN不是直径，所以这样的直线肯定有两条. 我们平时在解题时需要适当停顿，借助几何直观，明确算理，多一点思考，便会少出错.本题的第二问可以采用特殊法进行结果预判检验运算的准确性. 本题答案： （1）x=-2或3x-4y+6=0;（2）■·■为定值-5.

例6：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆■+y2=1，左、右两个顶点分别为A1，A2. 过点D（1，0）的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点为G，求证：点G在一条定直线上.

试题分析：本题首先可以进行解题目标预判，若过点D的直线交椭圆于M，N关于x轴对称的M′，N′两点，则直线A1M′与A2N′的交点为G′，由椭圆的对称性，可得GG′所在定直线应是与x轴垂直的直线. 由于A1，A2是椭圆左、右顶点，可分别设直线A1M与A2N的方程，并与椭圆联立方程组求出M，N的坐标，利用M，D，N三点共线写出两斜率关系，进一步得到点G的纵坐标是定值.为了验证运算结果的准确性，可取MN垂直于x轴时将点G的坐标求出验证. 本题也可以采用先特殊再一般的方法求解，由椭圆的对称性先预判定直线为x=4，然后设直线MN的方程为x=my+1. 再证明对于任意的实数m，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x=4上.

综上所述，预判思维在解答解析几何综合题的过程中有着显著的作用，当然预判的结论不一定都是对的，学生需要平时加强知识经验的积累和方法的总结，以便做出相对准确合理的预判，从而有助于指引解题的方向，优化解题的策略，修正解题的结果，实现既准又快地解题.