郭晓丹

摘要：排列组合问题一直是高中数学中的一个难点，该部分知识方法技巧性强且灵活多变，学生在“计数”时经常或者“重”或者“漏”，一步走错，全盘皆输。不容易得分。但是，高考中经常会出一个选择题或者填空题，因此应该引起重视。本文就对排列组合中的涂色问题进行研究，希望对相关工作者有所帮助。

关键词：高中数学;排列组合;涂色问题

排列组合中的涂色问题新颖灵活，曾经2003年全国高考题中出现过，其中包含着丰富的数学思想。对学生分步计数，分类计数原理的应用能力要求很高，有利于培养学生的分析问题与观察问题的能力，鉴于此，我专门拿出一节课做了涂色问题的专题，有一点自己的体会。

本节课的一个重点内容是如下四个题目

一、现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有多少种？

解析：先给A号区域涂色有5种方法，再给B号涂色有4种方法，接着给C号涂色方法有3种，由于D号与B，C相邻，因此D号有3种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5×4×3×3=180

二、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

解析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5×4×3×4=240

这两个题目学生略加思考，很快得到了正确的答案。

三、用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有

这道题我本来的想法是：先给A号区域涂色有5种方法，再给B号涂色有4种方法，接着给C号涂色方法有3种，由于D号与B，C相邻，因此D号有3种涂法，根據分步计数原理，不同的涂色方法有5×4×3×3=180

事实上与（2）完全一样。可是由学生起来解时出现了这样的问题：：先给A号区域涂色有5种方法，再给B号涂色有4种方法，接着给D号涂色，因为只与B相邻，所以4种，最后涂C，因为与ABD都相邻，方法有2种，结果是5×4×4×2=160种，显然不一样。

学生的兴趣明显被调动起来，我趁机让学生自己讨论探究，大家畅所欲言，终于得到正确的解决方法：先给A号区域涂色有5种方法，再给B号涂色有4种方法，接着给D号涂色，虽然D可以涂除B之外的四种颜色，但是与A是否相同影响了C涂颜色的种数，因此应该先分类

第一类，D与A相同，这时候 C可以涂三种（除AB外）于是5×4×3=60

第二类：D与A不同，这时D可以涂3种，C只能涂两种了，于是5×4×3×2=120

答案依然是 60+120=180

四、用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？

本题我的原意还是希望学生用上述办法依次分析，分①与④相同和不相同两类。大部分学生确实也是这样做的。但是也有同学起来说可把问题分为三类：四格涂不同的颜色，方法种数为A45;有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为2C15 A24;两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A25，因此，所求的涂法种数为，也是正确的，大家很赞成。

相同的题目换一种思维角度有不同的方法，但结果都是一样，这就是数学的魅力，学生的潜力是无穷的，我们应该把课堂还给学生，老师一味的讲，只是把自己的思维强加给学生，限制了学生思维的发展。