◇ 福建 韩 旭

导数大题通常是高考数学试卷中的压轴题.《普通高中数学课程标准(2017 年版)》指出导数思想丰富、内涵深刻、应用广泛,对学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象和数学运算等核心素养进行了有效考查.总结历年各省市的数学高考题中的导数大题,发现第一问多考查求函数解析式、求函数的切线方程、判断函数单调性、求函数的极值最值等;第二问多考查高阶导数的相关知识、洛必达法则下的导数问题、恒成立问题、根的分布情况、不等式的证明等.

笔者在分析高考题后发现导数中的恒成立问题在所有题型中出现的频率最高,并且该问题常出现在导数大题的第二问中,是拉开学生分数的关键.因此分析和总结恒成立问题的题型和解答方法是十分必要的,本文主要对导数中的恒成立问题展开分析.

1 什么是导数中的恒成立问题

1)题中有明显词语

如“恒成立”“恒有”“总有”“都有”“对任意……有……”“存在……有……”等.

2)和定义域有关的说法

3)和最值有关的说法

如f(x)在[α,β]上最大值为2,用恒成立的角度考虑问题可以转化为f(x)≤2在[α,β]上恒成立.

2 分离常数法解决导数恒成立问题

分离常数法是利用导数求参数范围的首选方法,所谓分离常数是指想要求哪个参数就把哪个参数看成常数放在不等式的一侧,其余量放在不等式的另一侧,再构造新函数h(x),结合题意求解.

2.1 直接求得导函数零点

例1设a∈R,f(x)＝ax3－3x2,若g(x)＝f(x)＋f′(x),x∈[0,2],在x＝0处取得最大值,求a的取值范围.

解析

依题意有g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax3＋(3a－3)x2－6x≤0在x∈[0,2]上恒成立,即

当