◇ 山东 李 浩

众所周知,圆锥曲线的问题一般可通过设线与设点进行求解,而椭圆、双曲线内的问题又以设线居多,究其原因,是设点运算的不对称性或代数运算较大导致的.现行的几个版本高中教材中,很少分析三点共线的设点代数表达,人教版《选修2-1》中,也只提到了椭圆及双曲线与直线的相交联立,结合根与系数的关系运算.本文旨在通过以截距定值的弦为例,探究三点共线的坐标度量与常见变形,为读者提供问题求解的思考角度.

1 操作演示

假设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆(a＞b＞0)上不同的两点,且直线AB经过点M(m,0),则

图1

我们单从设点的角度切入分析,不考虑设线联立,利用根与系数的关系,对式①一般可进行如下操作.

操作1平方

(这是两根和积关系的线性表示.)

分析此操作的目的可以实现共线的三点横坐标之间的互化,以达到“知二求一”的目的,为后续的快速解题提供方便.当然该式的获得也可从根与系数的关系代数运算推得,有兴趣的读者可以自行尝试.

操作2移项对偶构造

分析此操作的目的是可以实现杂交项x1y2和x2y1的代数求解,用两根之和与两根之差来线性表示,结果不仅呈现了对称美,更反映了横坐标与纵坐标之间的内在联系.

操作3等比定理

分析这里若是结合式②,我们还能得到更奇妙的表示,即y1y2能以x2＋x1或x1x2单独线性表示,实现共线三点纵坐标与横坐标之间的线性互化.如：

图2

类比椭圆操作：假设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2＝2px(p＞0)上不同两点,且直线AB经过点T(t,0),则

操作1平方

操……