◇ 江苏 姜亚琴

归纳推理是由某一事物的局部特征探究其整体规律的一种思维方式,是由特殊到一般的推理方法.通过归纳提出问题,进而对问题进行分析、求解.在数学中很多重要公式、性质、定理的发现都是通过归纳推理得出的.高考或模拟考试中的归纳推理问题,是考查考生分析问题、解决问题能力以及创新思维的有效载体.本文提出求解归纳推理问题的几个基本原则,供同学们参考.

1 要明确归纳对象的存在条件

例1设数列{an}的通项公式为an＝3n(n∈N*).数列{bm}定义如下：对任意m∈N*,bm是数列{an}中不大于32m的项的个数,则b3＝________;数列{bm}的前m项和Sm＝________.

解析

当m＝1时,32m＝9,由3n≤9,得n≤3,所以b1＝3;当m＝2 时,32m＝34,由3n≤34,得n≤33,所以b2＝33;当m＝3时,32m＝36,由3n≤36,得n≤35,所以b3＝35;

……

依此类推,可得bm＝32m－1,所以数列{bm}是以3为首项,32为公比的等比数列,故

点评

本题归纳的对象存在于新定义的数列中,通过准确理解新定义的概念,探究新定义数列的形式,归纳前几项的规律,明确了新数列的本质,从而使问题顺利获解.

2 要准确应用归纳问题的背景

例2给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色,当n≤4时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相连的着色方案如图1所示,由此推断,当n＝6时,黑色正方形互不相连的着色方案共有________种,至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有_________种(结果用数值表示).

解析

由已知条件,可得当n＝1 时,有2 种着色方案;

图1

当n＝2时,有3种着色方案;

当n＝3时,有2＋3＝5种着色方案;

当n＝4时,有3＋5＝8种着色方案;

当n＝5时,有5＋8＝13种着色方案;

当n＝6时,有8＋13＝21种着色方案.

因为当n＝6时,每个小正方形