◇ 江苏 刘 琳

近些年的高考数学试题中,经常会出现一些由课本例题、习题等变式拓展出来的问题,这类问题大都是按照一定的数学规则和要求,结合相关知识加以变式、创新拓展.数列知识由于其特殊性,经常是数学拓展的一大热点.

题目(北师大版《必修5》第31页习题1-3B 组第3题)一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为( ).

A.83 B.108 C.75 D.63

解法1(性质法)由等比数列前n项和公式的性质知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n为等比数列,即48,60－48,S3n－60成等比数列,所以122＝48(S3n－60),解得S3n＝63,故选D.

点评

利用等比数列的前n项和的性质求解更简捷,易错之处在于误把Sn,S2n,S3n当成等比数列求解.

解法2(特殊值法)令n＝1,由已知条件有a1＝48,S2＝a1＋a2＝60,解得a2＝12,那么则S3＝a1＋a2＋a3＝63,故选D.

点评

特殊值法非常巧妙地从特殊值n＝1 入手,把一般性的问题转化为等比数列的前三项的关系来处理,计算量小,方法简单.

解法3(公式法)根据题目条件可知S2n＝60≠2Sn＝96,故q≠1,则有

点评

利用等比数列的前n项和公式,通过列方程组求解,再利用参数之间的整体关系来处理与求解.运算量较大,过程较繁杂.

解法4(比值法)根据题目条件可知S2n＝60≠2Sn＝96,故q≠1,则有

点评

将等比数列求和公式的比值性质加以转化,结合整体思维,解答更加方便快捷.

变式1已知各项均为正数的等比数列的前5项之和为3,前15项之和为39,则该数列的前10项之和为_______.

解析

由等比数列前n项和公式的性质可知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n为等比数列,即3,S10－3,39－S10成等比数列,所以(S10－3)2＝3(39－S10),解得S10＝12或S10＝－9,由于该等比数列的各项均为正数,故S10＝12.

点评

变式1与课本习题相似,把数列前n项和具体化,学生更容易接受,通……