费晓波

[摘  要] 俗话说：“错误是真理的向导，是成功的阶梯. ”学习过程中出现错误是难免的现象，如何找到错误的原因，采取怎样的应对措施是值得每个教育者思考的问题. 文章就初中数学学习过程中常见的错误原因及应对措施，怎样科学纠正错误，如何将错误转化为促进学生进步与发展的资源展开分析.

[关键词] 数学;错误;对策

初中学生在数学学习过程中受原有知识结构和生活经验的影响，很容易出现思维定式或理解上的偏差，出现各式各样的错误. 教师若能针对错误采取一定的措施，科学地预防错误发生，及时纠正错误，化错误为促进学生成长的资源，就能帮助学生更好地理解数学知识，培养学生发现问题、解决问题的能力，从而产生较好的数学思想，更好地理解数学概念、定理等[1]■.

■ 常见错误形成原因及应对措施

1. 原有认知结构导致错误形成

学习是一个循序渐进的过程，初中阶段的学生已经有了一定的学习经验和知识结构作为基础，受时间和空间的影响，再次遇到相似的学习内容时，不少学生会被原有认知结构所干扰，导致新知构建的过程中出现各类错误.

例1  “圆”的教学

学生在小学阶段已经接触过圆的性质. 因此，不少学生认为所谓的圆就是圆的外周边及内部;圆及圆里面所有的点都在圆上面;半圆包含了一个封闭的曲线和直径等各种错误的认识.

应对措施  根据这种原有认知结构导致的错误认识，教师可有针对性地编拟一些题目，让学生从题目中发现概念的内涵，辨析定义的本质属性.

2. 学生思维定式导致错误形成

思维定式也称为惯性思维，由之前的经验形成的一种心理上的定向趋势，这种惯性思维可以帮助人们快速解决一些问题，但也会妨碍人们采取新的解决问题的方法. 思维定式对学生的感知、思维、记忆和情感等会起到正向或者反向的推动作用. 数学学习过程中常因思维定式导致学生的思维进入一些误区，导致学生思维的创造性和灵活性受到阻碍.

例2  “一元二次方程”的教学

问题：直角三角形ABC的两条边是方程x2-7x+12=0的解，请问斜边的长是多少？

学生根据题意解方程，两根是3或4，不少学生受3、4、5为一组勾股数的惯性思维影响，快速解答斜边为5.

应对措施  这是典型的受定向思维所影响的常见错误. 因此，教师在课堂教学中要及时扩充并完善学生原有的知识经验，通过举一反三和变式训练等方法，引导学生进行分析和比较，自主发现知识点之间的联系，辨析易混淆的数学概念，强化正确的数学思维，突破惯性思维的约束，从而激发学生的兴趣，拓宽解题思路.

3. 解题方法不当导致错误形成

一题多解在初中数学题中屡见不鲜，但也有部分题目只能有一种解法. 学生在解题过程中常常会因为解题方法的使用不恰当，导致一些错误的产生.

例3  “圆的对称性”教学

问题：AB，CD是⊙O的两条弦，CD=8，∠AOB与∠COD互补（见图1），求弦AB的弦心距. 若将△COD绕着点O顺时针旋转，让OD和OB重合，很容易就会发现弦AB的弦心距是弦CD的一半.

应对措施  这种方式是这道题唯一的解题方法，学生若想不到这个解题办法，则无法解开这道题. 因此，教师在教学过程中要注重解题方法的指导与训练，渗透良好的解题思路，形成较好的数学思维.

■ 化被动为主动，将错误优化成

教学资源

任何事物都具有双面性，数学错誤也同样是一把双刃剑，利用好了就是丰富的一手教学资源，利用不好就是一堆令人唾弃的废品. 教师如何在教学过程中将这些错误变废为宝呢？可以从以下几方面出发：

1. 利用错误引发学生的认知冲突

学生常因对知识理解不够全面或其他原因导致一些错误. 教师如果将这些错误适当地延伸开来，引起学生认知的冲突，学生就能在这些认知冲突中对学习内容产生新的知识结构和兴趣.

例4  “完全平方公式”的教学

师：（a+b）2等于多少？

生：（a+b）2=a2+b2.

对于这个错误的解答，教师可先转移学生的注意力.

师：5等于7吗？

生：（觉得不可思议）5怎么能等于7呢.

学生的注意力瞬间被转移过来，对这个知识点充满了兴趣.

师：假设a=3、b=4，那（a+b）2的值是多少？

生：（a+b）2=（3+4）2=49.

师：那么a2+b2的值是多少呢？

生：32+42=25.

师：可见（a+b）2的值是49，也就是72;而a2+b2的值是25，也就是52，因此（a+b）2=a2+b2这个答案对吗？

生：错误的.

师：那这道题的正确答案应该是什么呢？

学生在教师的引导下对这道题产生了认知冲突，同时又充满了好奇与兴趣，学习思维也得到相应的发展.

2. 利用错误引发学生的创新思维

错误发生的过程其实也是一种新的尝试过程，教师可引导学生发现错误中蕴藏的创新元素，及时给予引导与点拨，让学生自主地突破错误的思维障碍，产生创新意识，体验创新思维带来的价值和快乐[2]■. 一些问题条件发生了改变，结论亦会随之变化. 教师可根据这类题的错误发生，引发学生形成创新意识，形成创新思维.

例5  “平面直角坐标系”的教学

问题：平面直角坐标系内有点A（1，1），请在x轴上找到点P，使△AOP为等腰三角形，请求P点的标.

错解：找出满足此题条件的P点坐标是（1，0）与（2，0）（见图2）.

■

分析：根据题意，等腰三角形AOP可从以下三个角度考虑：

（1）如果AO=AP，则点P是以AO为半径，以A点为圆心的圆和x轴的交点，此时P点坐标是（2，0）;

（2）如果OP=AP，则点P是线段AO的中垂线和x轴的交点，此时P点坐标是（1，0）;

（3）如果AO=PO，则点P是以AO为半径，以O点为圆心的圆和x轴的交点，此时P点坐标是（■，0）者（-■，0）.

解题讲究的是周密、严谨，错误并不可怕，只要在错误中发现问题，勇敢地表达自己的观点，再根据错误用各种方法去修正它，修正错误的过程就是训练思维能力的过程，良好的思维能引导学生全方位地审视问题，找出问题和结论的内在关系，深化认识，从而发展学生的创造性思维.

3. 利用错误引发学生的反思

用错题引发反思是指在错误或挫折中得到一定的经验或教训，重新认识错题，养成良好的反思习惯，提高学生的数学核心素养. 新课标也明确要求学生在错误中逐步形成反思意识，通过订正错题、反思错误而纠正错误[3]■. 由此逐渐加深学生对数学知识与技能的掌握情况，提高学生的反思能力.

例6  “一元二次方程根与系数的关系”教学

问题：已知方程x2+2（m+2）x+m2-5=0有两个实数根，这两个根的积比它们的平方和小16，求m值.

根据题意，设两个根为x■，x■，写出x■+x■=-2（m+2），x■·x■=m2-5，两个根的积比它们的平方和小16，可得（x■+ x■）-x■·x■ = 16，通过化简和整理得：m■=-1，m■=-15. 到此，学生就认为答题完美结束了，若将解题答案代入方程进行检验，会发现存在一些问题，究竟是哪个环节出了问题？今后遇到类似的问题应该怎么做呢？

由此可见，要避免同类错误的再次发生，反思是最好的途径. 教师应在学生错误发生后给予恰当引导，让解题过程变得更为严谨、科学. 让学生反思解题方法、过程、思路以及错误形成的具体原因，通过反思避免同样错误的再次发生，从而更加深刻地理解数学知识与技能，形成良好的反思能力.

每个学生受身心发展和生活经验的影响，对数学知识的掌握深度和广度都有一定的区别，解题习惯和思维模式也不一样，出现的错误自然是花样百出的. 这就给教师的教学提出了更高的要求，怎样帮助学生在错误中成长成了每个教师的责任. 因此，教师应将学生的错误类型进行整理、分类，通过比较和分析找出一些有代表性的错题，从学生的錯题出发优化教学资源，在错题中引发学生的认知冲突，产生创新思维，培养反思能力，从而有效地提高数学核心素养.

参考文献：

[1]张诚. 有一种教学封闭叫“居高临下”[J]. 中学数学教学参考，2016（14）.

[2]蔡卫兵，朱贤军. 把握试题精髓  感悟教学价值[J]. 中学数学，2016（24）.

[3]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.