江苏省苏州市相城区东桥中学 凌 健

有一年初三数学第一学期期中试卷第28题的第（3）小题，笔者任教的两个班得分率特别低，得满分的寥寥无几。为此笔者对这个题目进行了深入的研究，试图找出症结所在，通过思考问题的本质，找到了其中的共性和特性。本文给出对该题的一题多解，解后反思及教学反思，期待与同行交流。

一、试题呈现

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（8，0），点的坐标是（0，6），点P从点O开始沿轴向点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿y轴向点以相同的速度移动，若P、Q同时出发，移动时间为t（s）（0＜t＜6）。

图1

（1）当PQ//AB时，求t的值；

（2）是否存在这样t的值，使得线段PQ将△AOB的面积分成1:5的两部分。若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）当t=2时，试判断此时△POQ的外接圆与直线AB的位置关系，并说明理由。

二、解法展示

问题（3）要判断当t=2时△POQ的外接圆与直线AB的位置关系，先要计算出d和r，再通过d和r比较大小进行判断。由题意可知0P=2，OQ=4，△POQ是直角三角形，所以外接圆圆心在PQ中点M（1，2）处以只要求出MH（如图2）的长度即可。

图2

解法1：利用等积法求线段MH的长度。

如图 3，连接 MB、MA、MO。

因为 S△AOB=S△ABM+S△AOM+S△BOM，

S△AOB=24，S△BOM=3，S△AOM=8，所以 S△ABM=13.

图3

解法2：构造相似模型求线段MH的长度

如图4，过点M作ME⊥x轴于E，交AB于点C；过点M作MF⊥y轴于F，交AB于点D。

图4

解法3：通过增量巧设简化相似计算过程

如图5，过点M作MD//x轴，交AB于点D；过点H作HK⊥DM于K。由题意可知，△MHK∽△BAO，可得MK：HK：MH=3:4:5，设 MK=3a，HK=4a，由 M（1，2）可得 H（1+3a，2+4a）由直线 AB

图5

解法4：将MH转化为特殊位置的垂线段NG

如图6，过点 M作MN//AB，交x轴于点N；过点N作NG⊥AB于点G由直线AB解析式为AB，可将直线MN的解析式设为

图6

解法5：通过“折直垂”巧妙转化为最值问题