匡金龙

摘要：数学实验将“做”“学”“思”合一，引导学生进行身心一体的具身认知，具有很好的直观性和探索性，对学生的数学理解有积极的促进作用。小学数学教学中，教师应积极开发和实施数学实验。具体途径有：对接“生活”与“数学”，促进概念的理解;统一“形式”与“本质”，促进规律的理解;联结“符号”与“操作”，促进计算法则与数量关系等的理解。

关键词：数学实验数学理解 数学概念数学规律数形结合

实践表明，数学学习方式的不同决定了数学理解水平的不同。数学实验是为了获得或解决某个数学概念、规律（法则、关系）或问题，借助外在的物质和操作手段，进行数学探索的学习方式。数学实验将“做”“学”“思”合一，引导学生进行身心一体的具身认知，具有很好的直观性和探索性，对学生的数学理解有积极的促进作用。小学数学教学中，教师应依据教材，结合学生实际，积极开发和实施数学实验，有效促进学生的数学理解。具体途径如下：

一、对接“生活”与“数学”，促进概念的理解

小学数学中的绝大多数概念源于生活。学生在日常生活中形成的“自然概念”是习得数学概念的经验基础，能促进数学概念的理解;但有时也会受到经验的局限，反过来阻碍数学概念的理解。数学实验中的操作对象往往是半抽象的实物或抽象的模型，能以简单、直观的方式，帮助学生跨越数学化理解的障碍，排除一些非本质因素的干扰，充分理解数学概念。教师应该利用学生“自然概念”中的有效成分，巧妙地将“生活”与“数学”对接，开展数学实验教学，帮助学生克服思维定式，深刻理解数学概念。

例如，“认识三角形的高”是教学的难点：学生习惯上会将“生活经验”和“数学概念”等同起来，把对身高的理解简单迁移至三角形的高，导致出现认识上的偏差。事实上，生活中物体的高与数学中图形的高虽然有着共同的本质特征——都指物体或图形底部到顶端的距离，但其抽象程度不同——生活中人、树等物体都有显著的现实背景，其高也就有特定的指向性，不会随着物体位置的变化而变化;而数学中三角形等图形是通过舍弃物体外在的非本质因素，抽取其形的共同点而得到的数学化产物，其高也就具有相对性，即将任意一边水平摆放都能找到对应的高。以身高推想三角形的高，学生难免会陷入“以偏概全”的泥沼。

基于以上认识，笔者通过数学实验帮助学生克服思维定式，深刻理解三角形的高。教学设计如下：

1.唤醒：你的身高是多少？怎么测量得到的？

2.猜想：三角形有高吗？你认为三角形的高在哪儿？

3.实验：到底是不是你们想的那样？我们一起来找找三角形的高。

（1）正位找高：把三角形最长的一条边水平摆放，找高。引导学生通过对比，明确高是“最高点（顶点）到对边的垂直距离”。

（2）换位找高：将三角形其他两条边分别水平摆放，找高。引导学生说出找高的方法，进而得出三角形的高就是“从顶点到对边垂直线段的长度”。

4.质疑：三角形的高有几条？和你一开始想的一样吗？

5.抽象：什么是三角形的高？（三角形任意一个顶点到对边的垂直线段都是三角形的高，三角形每一条边都有对应的高。）

……

当学生借助身高片面理解三角形的高时，教师利用实验，抓取生活经验中的有效成分（对高的本质认识），让学生自行修正和调节原有的认知，从而正确建构三角形的高的意义。

二、统一“形式”与“本质”，促进规律的理解

数学规律是同一类数学现象的内在联系，是数学知识的主要表现形式。规律教学不仅要探索和发现规律的外在形式，更要洞察规律的内在本质，从而获得对规律一般的、普遍的理解。实践表明，只关注规律外在形式的表达，而忽略规律内在意义的理解，是无法使规律扎根于学生的心中，成为指导解决问题的重要工具和手段的。规律教学中，教师可以设计适当的数学实验活动，引导学生从规律形式深入到规律本质，实现外在“规律表达”与内在“规律理解”的统一。

例如，学习“分数的基本性质”前，学生已经初步认识了分数的意义和大小等，能结合具体情境用不同的分数表示同一对象的大小。基于原有的经验，结合对一定数量实例的感知，学生能轻而易举地找到相等的分数中分子、分母的变化规律。教学中，教师要引导学生深入探究规律产生的本质原因，促进学生对规律的理解。

为引导学生将规律纳入已有的认知结构，可以设计这样的数学实验——

1.提问：（出示图1）阴影部分可用哪个分数表示？引导学生得到大小相同但分子、分母不同的分数，初步感知分的份数和取的份数之间的同变关系。

2.实验：（出示图2）你能画图找出和25相等的分数吗？不画图呢？试一试。

3.交流：你是怎么找到和25相等的分数的？引导学生总结方法：（1）将图中的每一份都再等分成几小份;（2）将分数的分子、分母同时乘相同的数。

4.沟通：这两种方法之间有什么关系？为什么？引导学生总结：将图中的每一份都再等分成几小份，就相當于将分数的分子、分母同时乘相同的数;因为分数的意义就是将单位“1”平均分成一定的份数，再取一定的份数，分母就是分的份数，分子就是取的份数。

……

这里，教师设计“画图找出和25相等的分数”的实验活动，引导学生发现分的份数、取的份数和分子、分母同变规律之间的内在关联，将分数的基本性质与分数的意义联系起来，使找规律的过程变成基于原理创造规律的过程。

三、联结“符号”与“操作”，促进计算法则与数量关系等的理解

很多数学对象有着数（对应“符号”）和形（蕴含“操作”）两种表征方式。不同表征方式之间的转换和联结，能有效促进学生对数学对象的理解。尤其是将抽象、静态的“符号”表征转化为直观、动态的“操作”表征，非常有利于以形象思维为主的小学生理解比较抽象的计算法则、数量关系等。因此，小学数学教学中，教师要通过适当的数学实验活动，引导学生进行代数表征和几何表征之间的转化，实现“符号”与“操作”的联结，加深学生对较为抽象的内容的理解。

例如，教学“小数乘小数”时，教师通常引导学生根据积的变化规律或单位转化方法（作为算理），基于整数乘整数的算法得到小数乘小数的算法（关键是确定积的小数点的位置）。但是，这两种方法都比较抽象，学生理解起来有一定的困难。对此，可以根据乘法的几何意义，设计适当的数学实验，引导学生通过画图，基于整数乘整数的算法得到小数乘小数的算法，并强化对积的变化规律的理解。教学设计如下：

1.问题：在一个长6米、宽4米的长方形教室内摆放课桌，每张课桌长0.6米、宽0.4米，每张课桌的面积是多少平方米？引导学生列出算式0.6×0.4，并尝试计算。

2.启发：能不能用画图的方式探求计算结果？

3.实验：先画一个长6米、宽4米的长方形（表示教室），再在其中画一个长0.6米、宽0.4米的长方形（表示课桌），如图3。

4.启发：大长方形和小长方形有什么关系？小长方形的面积是多少？

5.结论：6÷10=0.6，4÷10=0.4，10×10=100，大长方形里面有100个小长方形;6×4=24，24÷100=0.24，小长方形的面积是0.24平方米。

6.引导：这样的算法还可以用什么规律来

概括？

7.结论：积的变化规律。

再如，教学“求比一个数多（少）几分之几的数是多少”的问题时，学生理解“一个数比另一个数多（少）几分之几”的关系时存在困难。有经验的教师会引导学生把这样简略的关系句细化，比如：“黄彩带比红彩带长14”的意思是“黄彩带比红彩带长的部分是红彩带的14”。这对学生的理解有帮助。但是，这样的表达还是很抽象。而且，学生也很难通过这样的方式理解比较关系相反的两个等价的关系句，如“黄彩带比红彩带长14”相当于“红彩带比黄彩带短15”。对此，可以引入适当的数学实验：

出示方格背景图中的红、黄2根彩带（见图4，其中深色为红色，浅色为黃色），让学生观察思考黄彩带比红彩带长几分之几、红彩带比黄彩带短几分之几，进而对比思考，同样是红、黄两根彩带相比，为什么得到的分数不一样（标准不同）。然后，可以给出具体数据，让学生进行计算。这样，学生便由“信息接收者”变为“意义建构者”，真正理解了“一个数比另一个数多（少）几分之几”的关系，能根据解题的需要在“详细表达”和“简略表达”之间自由切换。