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《普通高中数学课程标准(2017年版)》颁布以来就成为命题的依据，2020年取消考试大纲，而高考考查的内容也不再仅限于高中课本知识，故本文通过几个有平面几何背景的高考题，说明巧借平面几何知识，可以快速解答部分高考试题.

1 平面向量背景

具有平面向量背景的高考题，有时借助平面几何知识可以实现快速解答.

图1

快速解法1如图2，过点D 作DF∥CE 交AB 于点F.由D 是BC 的中点，可知F是BE 的中点.由BE＝2EA，可得AE＝EF，故AO＝OD，下同常规解法.

图2

快速解法2由梅涅劳斯(Menelaus)定理可知，由已知可得，故AO＝OD，下同常规解法.

快速解法1通过构造辅助线借助平面几何结论推理，使问题顺利解答.快速解法2借助梅涅劳斯定理，避免了构造辅助线.

2 解析几何背景

在解析几何背景的高考题中如果涉及平面几何图形，借助平面几何知识往往可以快速解题.

常规解法由，可知BF1⊥BF2，连接OA，则由可知点A 是BF1的中点，又O 是F1F2的中点，故OA∥BF2.双曲线的渐近线方程是，故可知

设|BF1|＝bt，|BF2|＝at，由

又b2＋a2＝c2，故t＝2.在△BF1F2中，可知B的纵坐标为，则横坐标为，由kBF2＝，故c2＝4a2，双曲线的离心率

快速解法如图3，由OA 为△BF1F2的中位线且OA ⊥BF1，所 以OB ＝OF1，因 此∠F1OA ＝∠BOA.根据两渐近线关于y 轴对称，故∠F1OA ＝∠F2OB，所以∠F2OB＝60°，则

图3

根据图形直接可得双曲线的一条渐近线的倾斜角是60°，使问题的解答显得更加自然流畅.

常规解法由题意|OM|＝|OF|＝c＝2，设右焦点为F′，P(x，y)，则|PF′|＝2|OM|＝4，(x－2)2＋y2＝16与方程联立，可解得(舍)，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，故求得所以利用两点的斜率公式可求得直线PF 的斜率是.

快速解法设右焦点为F′，利用椭圆定义可得|PF′|＝|FF′|＝4，|PF|＝2，在等腰△PFF′中，利用勾股定理……