◇ 江西 李树森

利用导数研究不等式，需要构造函数，将所研究的问题转化为函数的最值来处理，在求函数的最值时，常常需要确定导函数的零点，有时会碰到导函数有零点但求解其零点比较困难的情况，此时称此零点为隐零点.虽然将这个零点虚设出来，通过整体代入能简化函数并研究其函数值的范围，但有时需要将这个零点的范围较为精准地进行估计，才能达到解决问题的目的，因此如何确定隐零点的范围，成为解决问题的关键.本文从解不等式、目标函数反解、二分法、放缩法、利用单调性等角度介绍其范围的估计方法.

1 构造隐零点的不等式求解隐零点的范围

分析问题转化为fmin(x)≥0，因此研究导函数，利用零点存在判定定理判断导函数零点存在，但求解困难，通过虚设零点，将其零点与参数a 之间的关系整体代入，简化函数，根据条件构造含零点的不等式，通过解不等式确定零点的范围，最后利用函数思想可以求解参数a 的范围.

解由已知条件可得fmin(x)≥0，且

令φ(x)＝aexx2－(a＋1)(a＞0)，则

当x∈(0，＋∞)，φ′(x)＞0，所以φ(x)在(0，＋∞)上为增函数，又φ(0)＝－(a＋1)＜0，而

当x∈(0，x0)时，φ(x)＜0，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)上为减函数；

当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)＞0，f′(x)＞0，所以f(x)在(x0，＋∞)上为增函数.

又因为φ(x)＝aexx2－(a＋1)在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x0≤1，所以0＝φ(x0)≤φ(1)，由0≤φ(1)，可得

利用零点存在判定定理，判定零点的存在，找到隐零点x0与参数a 的关系aex0＝，将其整体代入函数中，简化目标函数得，从而构造了隐零点x0的不等式，解出零点的范围，这即为所求的隐零点的范围.

2 通过隐零点代换，利用多项式函数的临界值反解出隐零点的边界

分析……