刘永刚

【摘 要】教师可以以“问题串”的形式指导学生借助三角函数定义及圆的对称性得出π+α，π-α及-α与α的三角函数值之间的关系，采用独立探究和小组讨论相结合的方式得出结论。渗透特殊到一般，类比以及数形结合的思想方法，力求发展和提升学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养。

【关键词】锐角;单位圆;诱导公式

【教学片段1】提出问题 引发思考

问题1：利用三角函数的定义计算π6和7π6，π4和5π4，π3和4π3三角函数值，观察它们相应的同名三角函数值之间存在什么关系？为什么会出现这样的结果？

追问：对任意角α，π+α的三角函数值也会满足“tan值相等，cos值和sin值互为相反数”吗？请说明理由。

教师首先引导学生回顾三角函数的定义，计算π6和7π6，π4和5π4，π3和4π3三角函数值并观察它们相应三角函数值之间的关系，然后引导学生思考其本质进而推广到对于任意角α，π+α的终边必定与其关于原点对称，所以两个角与单位圆的交点必定关于原点对称，进而总结概括出公式二：对于任意角α，都有sin（π+α）=-sin α，cos（π+α）=-cos α，tan（π+α）=tan α。

这个过程中学生不难看出π6和7π6，π4和5π4，π3和4π3的终边关于原点对称，但推广到任意角α和π+α，有些学生就可能看不出来，教师可通过回顾角的定义引导学生画图帮助学生理解，以培养学生的直观想象素养。

诱导公式本质是圆的对称性的代数表示，教师教学过程中应让学生感受到这一本质，突显出圆的对称性在解决问题中的重要作用，从而使学生深刻理解公式，并且能够有效地发展直观想象的核心素养，同时为探究后续诱导公式提供了方向和思维基础。

【教学片段2】总结反思 合作探究

教师和学生一起回顾总结诱导公式二的推导所经历的思维过程，首先研究角的代数关系，再研究角的终边的对称关系，进而得出角的终边与单位圆交点坐标关系，最后得出函数关系。

问题2：类比公式二，思考角α与角-α（α为任意角）终边的关系，并探究它们对应的同名三角函数的关系，并说明理由。

教师引导学生类比公式二的推导过程，通过画图借助角的旋转定义得出角α与角-α终边必定关于x轴对称，所以两个角与单位圆的交点必定关于x轴对称，进而得出公式三：sin（-α）=-sin α，cos（-α）=cos α，tan（-α）=-tan α。

任意角α与-α的终边的位置关系比较简单，推导出公式三并不难，过程中教师应引导学生体会用数形结合和类比的思想来解决问题，养成及时回顾总结，及时反思的良好学习习惯。

【教学片段3】 类比探究 独立推导

问题3：类比公式二和三，思考角α与角π-α（α为任意角）终边的关系，并探究它们对应的同名三角函数的关系，并说明理由。

角α与角π-α终边的位置关系对很多学生来说比较困难，教师引导学生由角-α与角π-α终边的位置关系突破，进而总结概括出公式四：sin（π-α）=sin α，cos（π-α）=-cos α，tan（π-α）=-tan α。

公式四的推导应引导学生独立完成，并鼓励学生大胆上台展示.发展学生数学学科核心素养关键在于学生能够自己发现问题，培养和提升独立探究问题的意识和独立解决问题的能力，而这种独立性意识和能力是靠学生在实践操作中不断摸索、感悟和积累的。

通过问题串的形式，学生在教师的引领下推导出公式二，师生及时总结概括，学生合作探究推导出公式三，学生类比公式二、三推导过程，独立完成公式四的推导。新课讲授过程让学生从具体角的三角函数值猜想公式，再结合图形利用圆的对称性对猜想进行验证，培养学生严谨的治学态度。学生的认识经历从特殊到抽象，由感性到理性、由图形特征到文字语言表述再到数学符号语言表述的过程，数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养得到逐步提升。

【教学片段4】公式应用 巩固新知

课堂测试：1.利用公式求下列三角函数值：

（1）cos 225°;（2）sin8π3;（3）sin-116π3;（4）tan（-2040°）。

2。化简cos（180°+α）sin（α+360°）

tan（-α-180°）cos（-180°-α）。

3。（1）已知sinπ3+α=-12，求sinα-π3的值.

（2）已知cosπ6+α=33，求cos7π+α6的值.

引導学生分析运算对象，选择运算公式和运算方向，计算并判断问题结果等环节。然后教师引导总结反思计算和化简的过程，概括运用诱导公式计算化简的一般步骤：负化正，大化小，化到锐角为终了。通过这个过程逐步提升学生的数学运算、逻辑推理和数学抽象等核心素养。

本课教学过程是从具体到抽象，再由抽象到具体，重点研究了终边分别关于原点、x轴、y轴对称的两个角的三角函数之间的关系，从而得到了三组三角公式，并通过例题的研究学习，将抽象的公式应用于具体的问题中，同时又总结出了化简计算任意角三角函数的一般步骤。整节课始终力求发展和提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养。

参考文献：

[1]黄邵华，何娇.形之完美表达数之完美表现——对诱导公式教学的深入思考和分析[J].数学通报，2019，58（09）：50～51，55.

[2]刘海燕.注重数学本质，培养理性精神——对“三角诱导公式”课的教学思考[J].数学之友，2019（05）：42～44.

[3]闫振仁.三角函数的诱导公式教学实录与反思[J].中学数学月刊，2019（08）：5～8.

[4]王丹峰.基于核心素养的高中数学公式教学探析——以“三角函数的诱导公式”教学为例[J].延边教育学院学报，2019，33（03）：197～198，203.