基于直觉模糊的双误差“逻辑与”多粒度粗糙集

2020-07-10叶楚瑶汪小燕

安徽工业大学学报（自然科学版） 2020年2期

叶楚瑶，汪小燕

（安徽工业大学计算机科学与技术学院，安徽马鞍山243032）

经典粗糙集理论模型是由波兰学者Pawlak[1]于1982年提出的一种不完整、不确定的数据表达方式。之后，衍生出许多相关理论，如在一定范围内允许分类误差的程度粗糙集及变精度粗糙集理论、从多个层次出发分析问题的多粒度粗糙集理论等。程度粗糙集及变精度粗糙集解决了经典粗糙集分类时过于严格的问题，在处理一些实际决策问题时允许存在一定程度的误差。因此，程度粗糙集及变精度粗糙集具有较高的应用价值。

直觉模糊集[2]同时考虑隶属度、非隶属度和犹豫度信息，拓展了传统模糊集。郭庆等[3]从多粒度视角下，利用优势关系研究了直觉模糊信息系统的粗糙集和决策，不涉及到分类误差；汪小燕等[4]考虑分类误差，提出变精度与程度“逻辑或”多粒度粗糙集；陈华峰等[5]利用等价关系研究了变精度与程度“逻辑与”多粒度粗糙集，提出一种双量化多粒度粗糙集模型，不适合直觉模糊信息系统；纪霞等[6]在经典粗糙集基础上，不涉及分类的相对误差和绝对误差，考虑粒度权值，提出了粒度加权的多粒度直觉模糊粗糙集模型；胡猛等[7]提出了直觉模糊序信息系统下基于精度与程度的单粒度粗糙集；薛占熬等[8]提出了基于优势关系的程度粗糙直觉模糊集，也是一种单粒度粗糙集。本文基于直觉模糊信息系统，结合优势关系，同时兼顾分类的相对误差和绝对误差，提出基于直觉模糊的变精度与程度“逻辑与”乐(悲)观多粒度粗糙集，给出一种新的二进制矩阵，并利用新矩阵计算所提多粒度粗糙集的上下近似集，对多粒度粗糙集的研究有重要意义。

1 相关概念

定义1[2]设U 为一给定论域，称A=(uA(x),vA(x))( x ∈U)为U 上的直觉模糊集(intuitionistic fuzzy set，IFS)，其中uA:U →[0,1],vA:U →[0,1]且满足0 ≤uA(x)+vA(x)≤1，uA(x)和vA(x)为U 中元素x 属于A 的隶属函数和非隶属函数，U 中所有IFS 记为IFS(U)，称πA(x)=1-uA(x)-vA(x)，表示x 属于A 的犹豫度。当πA(x)=0，则A退化成传统的模糊集。

定义2[9]设a1=＜u1,v1＞与a2=＜u2,v2＞，为两个直觉模糊数(intuitionistic fuzzy number，IFN)，则a1≥a2且仅当u1≥u2，且v1≤v2。

定义3[3]设I=(U,AT,V,f) 为直觉模糊信息系统(intuitionistic fuzzy information system，IFIS)，AT=A ⋃D，其中A 为条件属性集，D 为决策属性集，定义I 中的优势类。

定义4[10]设I=(U,AT,V,f)为一信息系统，X⊆U，k ∈N，那么X 依程度k 的上下近似集有如下定义:

在粒计算的观点中，传统粗糙集由论域上单个粒度定义，由Qian等[12]提出的多粒度粗糙集采用一族而非一个等价关系来进行概念的定义，其中包括乐观多粒度粗糙集与悲观多粒度粗糙集。

定义6[12]设I=(U,AT,V,f)为一信息系统，A={A1,A2,…,Am}为AT的m 个属性子集，对于∀X ⊆U 定义X 关于属性子集A 的乐观多粒度粗糙集的下近似、上近似分别为:

定义7[12]设I=(U,AT,V,f)为一信息系统，A={A1,A2,…,Am}为AT的m 个属性子集，对于∀X ⊆U 定义X 关于属性子集A 的悲观多粒度粗糙集的下近似、上近似分别定义为:

2 直觉模糊信息系统下变精度与程度“逻辑与”多粒度粗糙集

定义8设I=(U,AT,V,f)为直觉模糊信息系统IFIS，A={A1,A2,…,Am}为AT的m 个属性子集，k 为任意自然数，β ∈[ 0,0,5) ，(i=1,2,3,…,n)表示I 中的优势关系,则对∀X ⊆U，直觉模糊信息系统的X 变精度与程度的“逻辑与”粗糙集的下近似、上近似分别定义为:

定理1设I=(U,AT,V,f)为直觉模糊信息系统IFIS，∀X⊆U，β ∈[ 0,0.5 )，k 为任意自然数，（x)为I上的优势类，则有:

定义9设I=(U,AT,V,f)为直觉模糊信息系统IFIS，A={A1,A2,…,Am}是AT的m 个属性子集，k 为任意自然数，β ∈[ 0,0.5 )，(i=1,2,3,…,n)表示I 中的优势关系，则对∀X ⊆U，直觉模糊信息系统的X 变精度与程度的“逻辑与”乐观多粒度粗糙集的下近似、上近似分别定义为:

定义10设I=(U,AT,V,f)为直觉模糊信息系统IFIS，A={A1,A2,…,Am}为AT的m 个属性子集，k 为任意自然数，β ∈[ 0,0.5 )，(i=1,2,3, …, n)表示I 中的优势关系，则对∀X ⊆U，直觉模糊信息系统的X 变精度与程度的“逻辑与”悲观多粒度粗糙集的下近似、上近似分别定义为:

3 变精度与程度“逻辑与”多粒度粗糙集的二进制矩阵

定义11设I=(U,AT,V,f)为直觉模糊信息系统IFIS，A={A1,A2,…,Am}为AT的m 个属性子集，U/D={D1,D2,…,Dn}，k为任意自然数，β ∈[ 0,0.5 )，i(i=1,2,3,…,n)表示I 中的优势关系，则变精度与程度的“逻辑与”多粒度粗糙集的二进制矩阵M={mij(y)}(mij(y))表示(xi,Aj)单元格中的第y 位，y ∈[1,n])定义如下:

4 案例分析

表1[3]为一完备的直觉模糊决策表。其中:xi∈U(i=1,2,3,4,5）为被评估的对象；a1,a2,a3,a4,a5为对象的各个评估指标即条件属性；A1={a1,a2},A2={a3,a4},A3={a5}分别为3 个专家对评估对象感兴趣的指标；{d}为决策属性集合，专家的决策等级分为1，2两级。所有专家的评估值均用IFN表示。