王丽霞

摘 要：重力场中竖直方向的圆锥摆旋转形成的“圆锥体的高度”貌似与摆长、角速度、摆球质量都有关系，想当然其中任何一个量的变化都会导致高度的变化.实际不是这样，这个高度仅仅只与匀速圆周运动角速度的二次方成反比一项有关，与摆长、质量均无关，圆锥摆的高度只与匀速圆周运动的角速度息息相关.

关键词：重力场;圆锥摆;圆锥体的高度;角速度

如图1所示，重力场中竖直方向的圆锥摆，悬点为O、摆球质量为m、摆长为l、角速度为ω、摆角为α、摆球轨迹圆心为O′、圆锥体高为h，则轨迹半径r=l2-h2.根据牛顿第二定律F合=mgtanα=mω2r=mω2l2-h2，又几何三角形中tanα=r h=l2-h2 h，联立以上两式得gl2-h2 h=ω2l2-h2，即可得圆锥体的高度h=g ω2，可见圆锥体的高h仅仅只与角速度ω的二次方成反比，与摆长为l、摆球质量m均无关.因此重力场中竖直方向的圆锥摆，摆线旋转形成的圆锥摆的高度由摆球旋转角速度直接决定.

1 竖直方向的两个圆锥摆，不论摆长、摆球质量如何，以同一角速度匀速旋转时，形成圆锥摆的“高”始终一致

例1 （2018·南昌市摸底调研）如图2所示，木质支架两端通过长度相等的轻绳悬挂两质量和大小相同的A球和B球，A球到中心轴线的水平距离比B球到中心轴线水平距离小，不考虑空气阻力的影响，当旋转支架让其绕中心轴匀速转动时，下列说法中正确的是（ ）.

A.A、B两球的向心力方向始终保持不变

B.A、B两球的向心加速度大小不可能相等

C.A球对轻绳的拉力比B球的小

D.增大角速度，两轻绳最终可能转到水平位置

解析 如图3所示，A、B两球在水平面内一起同轴旋转，角速度大小一致，根据圆锥摆的高h=g ω2必相同，即h=O1O′1=O2O′2相同， 不难看出B球的轨迹半径r2大于A球的轨迹半径r1，B球的摆角θ2大于A球的摆角θ1.摆球的向心力F=mω2r与轨迹半径成正比，方向始终指向轨迹圆圆心，选项A、B错误.摆线对摆球的拉力FT=mg cosθ与摆角的余弦成反比，所以B球的摆线拉力大，选项C正确.摆球在水平面内旋转，摆线竖直方向的分力始终与摆球的重力平衡，tanθ=ω2r g=r h，不可能无穷大，摆角θ不可能为π 2，所以选项D错误.

析评 两圆锥摆在水平面内同轴一起旋转，旋转角速度总是大小一致的前提下，两圆锥摆的锥体高度随角速度的增大而减小，摆角增大，摆长减小，但瞬时总相等，与旋转角速度有关为切入点，进而推出摆角的大小关系是顺利解决问题的关键所在.

2 点电荷的电场和重力场的复合场中，带异种电荷的微粒在水平面内做匀速圆周运动，等效于库仑力牵引下的竖直方向的圆锥摆

例2 （湖北黄冈模拟）真空中固定的正点电荷Q，其所形成的电场中有一带电微粒在此点电荷附近以角速度ω=10rad/s做匀速圆周运动，取重力加速度g=10m/s2，且微粒的重力相对于电场力不能忽略，则下列判断正确的是（ ）.

A.该微粒一定带正电

B.该微粒一定带负电

C.该微粒做圆周运动的圆心位置在固定的正電荷Q处

D.该微粒做圆周运动的圆心位置在固定的正电荷Q处正下方0.1m

解析 带电微粒在重力和库仑力共同作用下的匀速圆周运动，与如图1所示的摆球在水平面内做匀速圆周运动的模型完全相同，如图4所示，库仑力与绳子拉力完全等效，是典型的重力场中竖直方向的圆锥摆模型.异性相吸，选项B正确，圆锥摆椎体高h=g ω2=0.1m，所以选项D正确，A、C选项错误.

析评 把电场与重力场的复合场中带电微粒做匀速圆周运动的模型，等效成重力场中的圆锥摆模型，是顺利解题的关键所在.绳子张力沿着绳子收缩的方向，异性电荷间的库仑力沿着两点电荷的连线向内，是能够等效的根本所在.所以我们的教学中建构模型，与等效模型同样重要，真正做到举一反三，触类旁通.

（收稿日期：2020-02-07）