徐华

对于初中数学来说，几何内容的学习是十分重要的部分，一方面能够增加学生学习几何知识的兴趣与趣味性，另一方面还能够全面的掌握具有实用性的知识，从而更好地进行几何问题的解决。与此同时也能够更好地对学生的空间思维建构能力以及逻辑思维进行培养。在进行有关几何方面题目证明的过程中，为了能够更好的进行问题的解决和证明，通常采用辅助线添加的方法。通过辅助线的添加能够将较为复杂的问题进行简化，然而在实际应用中，辅助线的添加会存在这样或那样的问题，对于学生来说，实际应用过程中仍然无法很好的掌握，这就要求任课教师在教学过程中侧重学生这方面能力的培养。

1 辅助线的重要性

在进行数学的学习过程中，辅助线的添加是十分重要的方式，与此同时它也非常重要。对于初中数学来说，其作用主要体现在以下几个方面：首先，通过辅助线的添加能够有效地将复杂的几何问题简单化，从而降低问题的解答难度，同时辅助线的添加并不会对原有的几何图形造成影响。辅助线添加前后，几何图形中的边、形状、角度、大小都保持不变，这样能够提升学生解答问题的速度和效率;其次，利用辅助线能够为原有的几何图形添加一些隐性的条件，这些隐性条件伴随着辅助线的添加能够得以显现，利用这些隐性条件能够为我们的推导与演算过程提供帮助，从而寻找到相应的规律，完成解答;最后，原有的几何图形会给我们提供一些显性的集合条件，但是有些时候这些显性条件是缺乏关联的，因此需要通过辅助线的添加来完成这些条件的组合，从而更好地为题目的解答来进行服务。

对于如何解决初中数学的几何问题，当面对复杂的几何问题束手无策时，无论是学生还是老师都会选择对复杂图形进行辅助线的添加从而实现图形的切割，形成数个简单图形，并形成一些可以借助的有利条件。从本质上看，辅助线的添加是为了实现问题的简化，这主要是考虑到题目中所提供的浅显条件无法对问题进行很好的解决，而通过辅助线的添加能够为解题提供前所未有的帮助，带来更多的已知条件，这对于解决问题是十分有效的，因此添加和运用辅助线的能力对于学生来说是尤为重要的。

2 辅助线添加原则

首先，在进行有关辅助线的添加过程中，要注意其对隐性条件的挖掘。对于一些几何题目而言，通过已知条件无法得到直接的结论，这就需要借助于辅助线来完成，通过辅助线能够让原有的隐含条件显现出来，从而找到解决问题的思路。其次，要注意利用辅助线对题目中给出的条件进行整合。当题目所给出的显性条件较为零散时，就需要利用现有条件进行转化，通过辅助线的正确添加，让这些条件在几何图形中正确的表达出来，然后将它们当中的对应关系一一找出。再次，在进行辅助线添加的过程中，要注意简化原则，避免增加难度。当所面临的图形呈现出较为复杂状态时，一般情况下会选择增加辅助线的方式，将原有复杂的图形进行划分，使其成为几个较为简单的图形，这样能夠有助于原有图形中隐藏信息的挖掘与提示，借助于这些信息能够为学生提供一些便捷的解题思路，从而有效地提升学生借助辅助线解决复杂问题的能力。

3 学生添加辅助线能力培养的策略与手段

3.1 三角形中的辅助线

对于几何图形为三角形的题目中，常见的辅助线条件有以下三种：（1）对于涉及三角形的题目，中点问题是出现较多的，这时候自然而言就应该联想到中位线，这样能够更好的针对问题进行解决;（2）通过引入角平分线对问题进行解决，利用角平分能够获得全等三角形，然后通过借助所构造的三角形给出的条件对问题进行解决。（3）通过给出相等的两条边，利用辅助线的添加来获得全等三角形，然后借助全等三角形的特征对问题进行解决。

举个例子，将△ABC的两条边AB，AC作为腰，然后借此向外绘制出两个等腰三角形Rt△ ABD和Rt△ ACE，同时保证∠BAD =∠CAE-90°，将DE联结起来，则BC，DE的中点分别是M，N。那么其中AM与DE存在怎样的数量关系以及位置关系。

（1）如上图①给出，△ABC为直角三角形，那么DE、AM之间存在何种位置关系，线段DE、AM之间又存在何种数量关系？

（2）如果图①中的等腰Rt △ABD以A为中心逆时针旋转角度θ（0<θ<90），可以得到图②，那么上述（1）中得到的两个结论是否依然成立，并给出其中的理由。

3.2 平行四边形中的辅助线

对于平行四边形而言，它拥有自己独特的特征，如对角相等、对角线相等且对边之间存在平行关系等。故此，平行四边形的辅助线添加主要是为了能够获得平行亦或是垂直的关系，这样有助于简化结题思路，提高结题效率，并有效的锻炼了学生添加辅助线的能力。

如上图所示，在四边形ABCD当中，已知存在AD∥BC，AB∥DC的几何关系，那么需要证明：AB = DC。

如果学生还没有进行有关四边形知识的学习时，首先要将这一题目转化成三角形进行解答。通过已知的显性条件可知，AD∥BC，如果将其中的A和C两个点进行连接就会得到1条辅助线AC，基于平行四边形内错角相等的原理，可以得到∠1 =∠2，∠3 =∠4，同时公共边为AC，基于全等三角形的条件，得到△CDA全等于△ABC，最终证出：AB = DC。

3.3 圆形中的辅助线

（1）通过垂径定理的运用，在圆心处给出弦的垂线。

（2）利用等圆或者同圆中弦、弧、圆周角、圆心角等之间存在的显性条件，连接相关圆上的点来进行问题的解决。

（3）直径作为已知条件出现在题目中时，那么很多情况下需要做出直径所对的圆周角，利用其为直角的条件来完成题目的解答。

（4）题目中给出切线时，将切点所对应的直径或半径连接起来，利用其与切线之间相互垂直的关系。同时在有些题目中需要做出过切点的弦，这样能够将其与圆周角、圆心角相互关联，得到隐性条件。

（5）当题目中给出两圆相切的条件时，第一可以经过切点做两圆的公切线，

这样能够获得圆周角与弦切角之间的关系。在有些情况下也会做两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的关系。

上面介绍了不同情形下辅助线的常规添加方法，这些不同情形下也存在着交叉，例如线段的平移、公切线的性质运用、中位线的特征性质等等，在面对问题中，这些辅助线就会成为解决问题最佳的渠道，很多情况下题目的设置者就是为了让学生通过常规方法无法解决问题，借助于辅助线的“桥梁作用”来进行问题的解决，而辅助线的熟练使用也能够有效的帮助学生开拓思维，在短时间内获得解决问题的灵感，从而解决问题，与此同时通过不断的练习能够增进学生对于辅助线的认识，提升学生使用辅助线的能力。

基于以上分析，通过辅助线能够帮助我们更好的解决几何问题，任课教师在进行教学过程中，应该充分考虑到对学生辅助线运用能力的培养与引导，确保学生能够充分掌握辅助线运用的技巧，强化学生的理解，让学生在实际应用中做到游刃有余，从而提升学生解决问题的能力。对于数学教学，任课教师也应该突出几何方面的内容，让学生能够寓教于乐，在获得兴趣的同时更多的掌握实用性知识，并获得高效解决问题的手段;与此同时通过对学生添加辅助线能力的锻炼，实现对学生逻辑思维能力以及空间想象能力的培养，同时添加辅助线也是解决问题的“常规武器”，实现化繁为简，但是在这一过程中也需要注意到学生很容易出现方法掌握效果不佳的情况，因此任课教师在这方面的教学过程中应该尤为注意。

（作者单位：印江土家族苗族自治县洋溪中学）