杨丽英 赵新平 吕雄

[摘 要]基于Rolle定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理，从多个函数的角度出发，对微分中值定理进行推广，给出了关于三个函数的微分中值定理，得到了多个函数多介值的微分中值定理的新形式，拓展了微分中值定理的应用范围。

[关键词] 微分中值定理;多个函数;多介值

在许多实际问题的计算中，由于客观条件的限制，我们经常只能观察或测量到变量在边界或者区间端点处的值，而实际应用时，却往往需要根据边界或者端点处的值来判断变量在区域内部的变化情况。比如，物体在表面受到力或电的作用时，如何判断物体内部各点的受力变化情况等。微分中值定理恰是反映函数边界值与区间内部导数值之间联系的重要定理，是微积分学的理论基础，在不等式的证明、函数几何形态的判定、方程根的存在性证明等许多方面都有着重要的作用，在科学计算和工程技术领域具有广泛的应用。

在数学分析[1]或高等数学[2]教材中，通常以拉格朗日（Lagrange）中值定理为基础展开讨论，然后给出一些简单的推广和具体应用.

关于微分中值定理推广的研究一直是一个非常活跃的课题，许多学者对其进行了推广。文献[3]在附加函数在区间端点或无穷远点处有极限的条件下，将闭区间上的微分中值定理推广到开区间或无穷区间上;文献[4-6]给出并推广了多元可微函数的微分中值定理;文献[7]将微分中值定理推广到高阶导数的情形，并直接推出Taylor公式;研究了不连续函数微分中值定理的推广及应用;将微分中值定理原结论中的关于函数值差的描述改为函数值和的形式，在新的限制条件下得到了新形式的微分中值定理。文献以实例的形式讨论了含有不同介值点的中值问题。本文从多个函数的角度出发，对微分中值定理进行推广，给出新形式的微分中值定理，并通过具体例子给出推广定理的应用，拓展微分中值定理的应用范围。

一、三个函数的微分中值定理

首先给出三个函数的微分中值定理，它是两个函数的Cauchy中值定理和一个函数的Lagrange中值定理的推广。

三、结论

将经典的关于一个函数和两个函数的微分中值定理推广到三个函数的情形，得到了关于三个函数的单介值和多介值的微分中值定理，并通过两个具体例子说明所得定理的应用。当其中一个或两个函数取特殊值时，本文所得结果可以给出经典的Lagrange中值定理、Cauchy中值定理和文献[3]中的全部中值定理。

参考文献

[1]复旦大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]张丽颖.微分中值定理的推广[J].兰州文理学院学报（自然科学版），2016（1）：6-8.

[4]胡龙桥.n元函数的微分中值定理[J].工科数学，1994（4）：263-265.

[5]甘小冰，陈之兵.多元函数的高阶微分中值定理[J].数学的实践与认识，2005（10）：213-217.

[6]刘期怀.微分中值定理的推广形式[J].教育教学论坛，2015（28）：182-183.

[7]李麗芳，杜娟，宋庆凤.微分中值定理的高阶形式[J].高教学刊，2016（13）：259-260.

[8]杜家祥.柯西中值定理与拉格朗日中值定理的高阶形式[J].淮北煤师院学报，2001（4）：68-70