周剑 王华毕 李德宝 张兵 王红州 张骞 祖磊

[摘 要] 有限元方法已经成为现代工程研发和设计的重要工具，大部分高等院校的工科专业都将有限元方法列为本科生专业必修或选修课程。针对有限元方法理论复杂、内容广泛与教学课时有限的矛盾，如何提高其教学效果成为一个亟待解决的问题。本文从优化理论教学内容、强调实践环节和综合考查教学效果等方面探索有限元课程的教学方法。首先要凝练有限元课程的主干内容，将核心思想和关键概念贯穿于整个课程，注意应用有限元方法的规范统一性。强调有限元软件的实践应用，让学生掌握软件的基本使用方法、培养分析简化实际工程问题的能力，是实践教学的主要目标。最后，从理论和实践应用两方面合理考查教学效果，是实现学生掌握有限元方法核心思想、基本理论和实际应用多重目标的必要手段。

[关键词] 有限元;教学方法;理论和实践;核心思想;规范统一

一、引言

有限元是以变分原理为基础，吸取差分格式的思想而发展起来的一种有效的数值解法[1]。有限元方法作为数值解法，把求解无限自由度的待定函数转化为求解有限自由度的待定值问题。依托有限元方法，计算力学发展成为庞大的计算机辅助工程分析（CAE）产业，有力推动了诸多工程领域的快速发展。目前，有限元方法及其软件已广泛用于机械、土木、航空航天、冶金、电气等领域复杂工程的计算求解，是現代工程设计和分析的重要工具。近年，全球商业有限元软件的需求激增，掌握一种或数种通用有限元软件的使用，逐渐成为工科毕业生的必备技能之一。

为了适应这种发展趋势，大部分院校的工科专业都将有限元方法列为本科生的专业必修或选修课程。但有限元方法是综合力学物理基础、数值方法和计算机软件的理论方法和实用技术，具有理论博大精深、涉及领域广泛、专业知识要求强等特点。非力学专业学生在缺少相关力学基础知识的情况下，要在一定时间内掌握有限元法比较困难，对于课程的教授也带来很大的阻碍[2]。因此，如何提高有限元法教学效果成为一个需要解决的问题。诸多学者从不同角度探讨了如何优化重组理论教学与工程应用所占教学比例、更新教学内容[3]，将繁杂抽象的理论知识与工程实践教学结合起来，锻炼学生独立自主分析和解决问题的能力，提高有限元课程教学的有效性[4]。

本文在学校“三位一体”能力导向教学理念指导下，结合笔者教学经验和心得体会，从有限元课程的教学内容取舍、如何贯穿核心思想、强调实践环节、重视教材选择和全面综合考查教学效果这五个方面，探索如何让学生掌握有限元的核心思想、基本理论和实际应用。

二、优化理论教学

（一）凝练主干理论内容

在较短的教学时间内无法覆盖有限元理论的诸多方面。首先，在理论教学内容上要有所取舍，重点凝练有限元理论的大致框架，但同时要形成清晰的体系。结合目前众多教材中的基本内容体系，笔者在24个课堂教学中主要讲解弹簧系统、杆系和桁架、平面应力/应变、基本传热和旋转轴对称问题这五块主干内容，所涉及的基本单元类型包括弹簧单元、杆单元、梁单元、三角形结构单元、三角形传热单元和轴对称单元。由于二维和三维模型的基本理论知识和分析思路都是一致的，因此在理论教学过程中只讲解二维问题，但在软件使用中讲解三维问题的建模求解。另一方面，主要利用刚度法和能量法求解刚度矩阵，不涉及伽辽金残差等方法。同时强调一些弹性力学和传热学的基础知识，满足课堂知识点的讲解需求。

（二）贯穿有限元的核心思想

有限元理论的核心思想是“化整为零”，即单元离散化，把求解无限自由度的待定函数转化为求解有限自由度的待定值问题。有限元方程F=Kd，是有限元方法的核心和精髓，其中F是载荷矩阵，K是刚度矩阵，d是节点场变量。求解刚度矩阵是关键环节，在每个主干内容中均是核心讲解的知识点。为了清晰深刻地展示有限元方程的推导思路，笔者借鉴关系图1，向学生阐述载荷、应力、应变、位移这四个变量间是如何通过平衡方程、物理方程、几何方程和有限元方程进行相互关联的。通过该图，不仅清晰展示了基本变量和主要方程之间的关联，而且使有限元方程的推导更易于接受且印象深刻。这些核心思想和概念深入贯穿于整个课程。

另外，在教学过程中，要注意总结和应用有限元方法的规范统一性。有限元方法具有成熟的理论体系，对于上述提到的五个主干内容，虽然每种单元的刚度矩阵形式不同，但推导过程都是相同的思路。根据能量法，单元的刚度矩阵具有统一的形式：[K]=∫∫∫[B]T■[D][B]dV，其中[B]是应变矩阵，[D]是物理矩阵。因此，对于每种具体的单元，需要求解的只是应变矩阵和物理矩阵。同样，在手动求解具体问题时一般经过分析问题、离散单元、求解单元刚度矩阵、合成整体刚度矩阵、约束条件和载荷分析，从而得到整体有限元方程，进而求解节点场变量以及单元分析这些规范化步骤。在利用软件分析过程中，则按照建立几何模型、赋予材料属性、划分网格、施加约束和载荷、创建分析步、运行求解器和结果后处理等这些基本步骤。因此可以看出，有限元刚度矩阵、手动求解问题、软件分析都具有规范化形式或标准求解步骤。在教学过程中，向学生深刻阐明这些规范统一性，然后再去关注具体问题的特殊性，这样很可能要起到事半功倍的效果。

三、强调实践应用和综合考查

（一）强调上机练习和实践应用

实践环节是有限元教学的重要组成部分，也是工科有限元教学的主要目标。课程中的实践环节主要包括课堂上的软件演示和学生上机两个部分。课堂上的软件演示，主要采用案例教学，将复杂枯燥的有限元理论和实例分析相结合，提高教学效果。演示案例除了包括基本课堂内容之外，还可以结合自身科研和有限元软件的最近进展，演示一些进阶功能。例如，可以在几何建模过程中，从其他几何造型软件中导入北京鸟巢、大飞机C-919等复杂模型，让学生惊叹有限元软件的强大功能，激发其学习兴趣。此外，还可以引入python语言脚本编程，进行有限元分析的前处理和后处理，将最新的有限元软件技术和发展趋势介绍给学生。

一般上机时间不会太长（4-8个学时），需要合理安排上机内容。首先，应该针对理论教学内容，编写相应的基础示例练习和详细指导教程，供学生参照练习，达到熟悉软件基本操作和加深课堂内容的目的。在完成基础练习之后，进一步布置开放性题目，锻炼学生使用软件解决工程实际问题的能力。为了考查学生的上机效果，学生需提交较为详细的上机实验报告，展示其分析结果以及对工程问题简化和有限元分析准确性方面的理解和思考。课程内的实践时间毕竟有限，其主要目标是掌握软件的基本使用方法和解决问题的思路，为以后学生从事有限元理论研究和软件应用奠定基础。课堂之外，更多地是鼓励学生将有限元方法应用于毕业设计、创新创业大赛等实践活动，以解决更加具体和复杂的工程问题，在解决问题的过程中继续加深对有限元理论和软件使用的深入学习，达到学以致用、渐入佳境的效果。

（二）全面综合考查学习效果

为了达到较好的课程教学效果，全面合理地考查学生的学习效果至关重要。有限元方法是理论和应用的综合课程，因此考查体系自然也包括理论和应用两部分。笔者在教学过程中，主要通过平时作业、期末测试和上机作业三部分评估学生的学习效果。由于有限元理论复杂、公式繁冗，因此理论考查不宜太深，主要强调基本理论方法和分析思路。平时作业中，学生通过典型例题的求解，熟悉单元/节点离散、刚度矩阵计算和组装、载荷移植、矩阵求解等重要步骤，理解掌握有限元求解问题的基本步骤和核心思想。学生在解题过程中“事必躬亲”，才能明白难点所在。期末测试采用开卷形式，考查有限元基本概念和典型问题的计算求解。上机作业主要判断分析结果的准确性和开放问题的独立完成度。

四、结语

针对有限元方法理论复杂、内容广泛与教学课时有限的矛盾，笔者从优化理论教学内容、强调实践环节和综合全面考查教学效果等方面，探讨了有限元课程的教学方法。首先要凝练有限元课程的主干内容并保持清晰的理论框架，教学过程中要着重强调将核心思想和关键概念贯穿于整个课程，注意总结和应用有限元方法的规范统一性，提高理论教学效果。配合使用数本优秀教材以及关注网上慕课资源也是非常重要的。强调有限元软件的上机练习和课程以外的实践应用，让学生掌握软件的基本使用方法、培养分析简化实际工程问题的能力，是实践教学的主要目标。

参考文献

[1]王勖成.有限单元法[M].北京：清华大学出版社，2003.

[2]王小荣，林顺洪，丁剑平，等.有限元法课程的教学改革探讨[J].重慶科技学院学报（社会科学版），2011（6）：178-179.

[3]王磊，王晓军.航空航天结构中有限元方法教学与实践研究[J].课程教学，2018（33）：109-110.

[4]姜黎黎，周新伟，严实，等.基于能力培养的有限元教学改革与探索[J].鸡西大学学报，2016（16）：1-3.