李德生, 李 华

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

0 引 言

本文考虑非线性四阶Schrödinger方程的周期初边值问题:

其中:i2=-1,α,β,γ为常数;u(x,t)为一光滑的复值函数;u0(x)是已知的光滑函数。方程(1)满足如下的电荷守恒律和能量守恒律:

非线性Schrödinger方程的数值解法一直受到广泛关注,并且已经取得许多成果[1-8]。但是目前对于上述带三次项的非线性四阶Schrödinger方程的数值研究还不多。文献[9]结合分裂算法与多辛算法,构造了该方程的一个分裂多辛格式;文献[10]将辛欧拉方法与拟谱方法相结合,导出了一个多辛拟谱格式;文献[11]构造了一个非线性的二层守恒格式。本文将采用有限差分方法对方程(1)构造一个线性守恒差分格式。

1 格式的构造及相关引理

本文使用的记号如下:

现在对问题(1)～(4)构建如下的差分格式:

下面,将给出本文中常用的引理。

引理1[12]周期边界条件下,有以下恒等式成立:

(11)

‖u‖∞≤c1‖un‖+c2‖ux‖

引理3[14](离散Gronwall不等式)设w(k)和ρ(k)是非负网格函数,若c>0,ρ(k)不减且

则对任何0≤k≤N成立ω(k)≤ρ(k)eckτ。

引理5[15]对[0,L]上任意一个网格函数{uj},j=0,1,2,…,J成立不等式

2 差分格式的电荷守恒性及能量守恒性

定理1 差分格式(7)～(10)满足如下守恒律

这是对(5)和(6)式的数值模拟。

证明 令式(7)与un+1+un-1作内积并取虚部得

(14)

令式(7)与un+1-un-1作内积并取实部得

令

递推即得式(13)。在上述证明的计算中应用了引理1 。

证明 由式(12),可知‖un‖≤C.再由式(13)可知

上述证明过程应用了引理2,4,5。

3 差分格式的收敛性

定理3 设定解问题(1)～(4)的解u(x,t)∈C4,3((xL,xR)×[0,T]),则差分格式(7)～(10)的解在平方模的意义下一下收敛于问题(1)～(4)的解,且收敛阶为O(τ2+h2)。

(16)

(21)

现估计式(21)左端最后一下和右端项。