题1 把四个面都是直角三角形的四面体叫做鳖臑.

若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是p1;若从鳖臑的六条棱和四个面中任取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们互相垂直的概率是p2;若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是p3.可得p1，p2，p3的值分别是（）.

A.13，16，12B.13，12，16C.16，12，13D.13，1，12

图1

解 A.可以证明：鳖臑就是从一个Rt△BCD（可不妨设∠BCD=90°）的锐角顶点（可不妨设为点B）处作平面BCD的垂线段BA而后得到的四面体ABCD（如图1所示，可把鳖臑ABCD放置在长方体中），因而我们可在如图1所示的鳖臑ABCD中来求解.

（1）可得鳖臑ABCD的六条棱中任取两条有C26=15种取法，其中互相垂直的情形有5种：AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD，AC⊥CD，BC⊥CD.

所以所求概率是515=13.

（2）从鳖臑ABCD的六条棱和四个面中任取一条棱和一个面（要求棱不在面上），有3·4=12种，其中它们互相垂直的情形有2种：AB⊥平面BCD，DC⊥平面ABC.

所以所求概率是212=16.

（3）从鳖臑ABCD的四个面中任取两个面有C24=6种取法，其中互相垂直的情形有3种：平面ABC⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD，平面ABD⊥平面BCD.

所以所求概率是36=12.

考查目标 （1）对文字（新定义）的阅读理解及等价转化;（2）对立体几何图形中“垂直”的理解及其应用：包括直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义、判定及性质;（3）用枚举法求古典概型.

设计思路 2015年高考湖北卷理科第19题及文科第20题均是涉及“鳖臑”的数学文化高考题;普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）第69页的例3，第69页的“探究”， 第73页的第3题也均涉及“鳖臑”.

鳖臑是一种特殊的四面体，值得……