郑 琦

（福建省福清第一中学，福建福清 350300）

引 言

数学能力即逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力，包括具有学科交点的“数学能力”和反映学生综合素质的“学习潜力”[1]。数学运算能力要求学生解题时目标准确、方法有效，有较强的数学记忆力，以保证熟练地运用概念、公式、定理和方法技巧简洁且迅速地答题，并对结果的正确性有一定的检验能力。高考轮次复习数学运算能力的重塑和提升，必须注重运算基本功和技能形成过程，强调解题的规范性和数学语言的逻辑性，不因解答不规范、运算出错影响逻辑推理过程，从而改变思路导致失分。

【重塑和提升运算能力例析】近年来，高考对学生数学运算能力的考查已经实现了与逻辑思维能力、空间想象能力、几何图形的结合，并在思维与运算的交汇处考查学生运算能力。因此，在高考轮次复习中，教师要对学生从运算基本能力、基本技巧和验证能力三大方面进行修复和重塑。其中，运算基本能力包括移项、通分、因式分解 、代入消元法和配方法等；运算基本技巧包括换元法、配凑法、放缩法、中间量法、分离变量法、分离常数法、估值法、消参法等；运算验证能力，包括对元素互异性、极值点参数值、离心率范围、直线和圆锥曲线有交点的情况等进行验证[2]。从计算关再结合知识关、思想方法关的角度来审视高考常见计算基础专题题型，它有以下设计亮点。

【设计亮点1】求解与抽象函数有关的不等式题型，一般是利用函数单调性将“f”符号脱掉，使其转化成具体不等式求解。遇到分段函数，“对段入则”，可结合分段函数图像减少分类讨论量和计算量。

解析：方法一，

即为2-(x+1)＜2-2x，即-(x+1)＜-2x,解得x＜1.

因此，不等式的解集为(-∞，-1].

即1＜2-2x，解得x＜0.

因此，不等式的解集为(-1，0).

综上，不等式f(x+1)＜f(2x)的解集为(-∞，0).

方法二，当x≤0 时，函数f(x)=2-x是减函数,

则f(x)≥f(0)=1.

作f(x)的大致图像如图1所示，

结合图像可知，要使f(x+1)＜f(2x)，

即不等式f(x+1)＜f(2x)的解集为(-∞，0).

图1 函数图像

【设计亮点2】从全局化繁为简到局部结构处理，用一元二次函数部分图像分类讨论或分离参数法，再结合构造法和求导法，化归为求c与f(x)值域大小关系的问题，最后要注意等号问题。

例2：若函数f(x)=(x2-cx+5)ex在区间[，4]上单调递增，则实数c的取值范围是_______.

解析：函数f(x)=(x2-cx+5)ex在区间[，4] 上单调递增，则f'(x)=[x2+(2-c)x+(5-c)]ex≥0 在区间[，4] 上 恒成立，即x2+(2-c)x+(5-c)≥0 在区间[，4]上恒成立，即在区间[，4]上恒成立.

令g'(x)=0，则x=1，或x=-3；

当x∈[，1)时，g'(x)＜0，g(x)为减函数；

当x∈(1，4]时，g'(x)＞0，g(x)为增函数.

故当x=1 时，g(x)取最小值4，故c∈(-∞，4].

【设计亮点3】直接用两角和差、正余弦、正切公式拆括号，涉及解方程组，计算量大。观察发现，条件角和结论角存在特殊数量关系，结合整体法和诱导公式，拆分复合角，减少计算量。

例3：已知θ是第四象限角, 且sin(θ+)= 3 5，则tan(θ-)=为_______.

解析：θ是第四象限角，

【设计亮点4】在解三角形问题时渗透减元思想，运用内角和定理、正余弦定理减少三角函数名和角的个数。

例4：△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0，a=2，c=，则C=_______.

解析：△ABC中，A+B+C=π，

sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C).

因为sinB+sinA(sinC-cosC)=0，

所以sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0，

sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0，

cosAsinC+sinAsinC=0.

因为sinC＞0，

所以sinA+cosA=0，tanA=-1.

又因为A∈(0，π)，所以

由正弦定理得

【设计亮点5】用公式法化同名或用换元法转为一元二次函数型求复合三角函数的最小正周期、单调区间、对称轴、对称中心和最值。

例5：函数y=2cos2x-1+2sinxcosx的单调递减区间为______.

例6：函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域为_______.

解析：设t=sinx+cosx，

则sinxcosx=

y=t+t2-=(t+1)2-1.

当t=时，y取最大值为

当t=-1 时，y取最小值为-1.

【设计亮点6】解圆锥曲线最值问题可以采取的方法：一是几何法，通过曲线定义、几何性质以及平几定理、性质等求解；二是代数法，把最值的几何量表示为某个(些)参数的函数(解析式)，用求导法、复合函数单调性法则，不满足“一正二定三相等”，则可适当变形后用基本不等式求最值。

(1)求椭圆的方程；

(2)过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值.

(2)由(1)知F1(-1，0)，设A(x1，y1)、B(x2，y2),

过点F1的直线方程为x=ky-1,

又因为k2≥0，所以递增，所以当且仅当k=0 时取得等号，所以△F2AB面积的最大值为3.

【设计亮点7】解析几何中的定点和定值问题，借“设而不求”减少计算量。

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P(4，0)，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点.

解析：（1）椭圆C的方程为

(2)证明：由题意知，直线PB的斜率存在，设其为k，则直线PB的方程为y=k(x-4).

设点B(x1，y1)、E(x2，y2)，则A(x1，-y1)，

由于直线AE的方程为

所以令y=0，

①②代入上式可解得x=1，所以直线AE与x轴相交于定点(1，0)。

【设计亮点8】用构造法构造e 的方程或不等式求e 的值或取值范围。

例9：(1) 已知F1、F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率=_______.

(2)已知直线l：y=kx+2 过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4 截得的弦长为h。若，则椭圆离心率e 的取值范围是_______.

解析：(1)由题设可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，|F1F2|=2c，所以|PF2|=c，|PF1|=c。由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，即c+c=2a，所以(+1)c=2a，故椭圆C的离心率

(2)依题意知b=2、kc=2，设圆心到直线l的距离为d，则，解得。又因，所以，解得.于是，，所以

结 语

高考轮次复习要重视数学运算中的常用运算工具，如向量法（法则法、坐标法）解决和解析立体几何问题，构造函数法、求导法和图像法齐头并进解决函数零点和极值点问题，同时重视公式定理推导过程。这有助于修复和重塑学生数学运算能力，发现出题者的命题意图，更好地引导学生学习数学知识。