林 强，刘 敏，杨庆山,2，吴凤波，黄国庆

(1．重庆大学土木工程学院，重庆 400044；2．结构风工程与城市风环境北京市重点实验室，北京 100044；3．西南交通大学土木工程学院，四川，成都 611756)

建筑围护结构抗风设计需要准确的结构表面风压极值或者峰值因子[1—7]。风洞实验结果表明，建筑表面风压是随机变化的，符合高斯或者非高斯分布；当符合高斯分布时，可采用经典高斯分布极值理论求解风压极值；当符合非高斯分布时，经典高斯分布极值理论求解得到的风压极值有可能偏小[3]，此时，国内外学者提出了众多的非高斯风压极值估计方法[4]。

现有非高斯风压极值估计方法主要包括转换过程法(translation process method)、整体极值法(global maxima method)、区域极值法(block maxima method)、过阈法(peaks over threshold method)、平均条件超越率法(average conditional exceedance rate method)等[4]。转换过程法的核心是建立高斯变量和非高斯变量之间的转换函数，从而充分利用经典高斯分布极值理论的解析解[8—9]。现阶段，转换函数建立的方法主要包括两类：1) 采用某一特定函数模型直接描述高斯变量和非高斯变量之间的转换关系，如Hermite多项式模型(HPM)[10]和Johson转换模型(JTM)[11]，此时模型参数通常通过前四阶矩计算得到；2) 假定非高斯母本分布为某一函数形式，如平移的广义对数正态分布 (shifted generalized lognormal distribution，SGLD)[12]，再基于高斯变量和非高斯变量累积概率分布函数相等得到转换函数，此时非高斯母本分布函数的参数可通过矩估计法、极大似然估计法或最小二乘拟合法等得到。对于可通过矩得到转换函数的方法，统称为基于矩的转换过程法。基于矩的转换过程法由于能够利用高斯过程极值分布的理论解、需要的样本时程信息短而被广泛应用于非高斯过程的峰值因子估计[1—4]。

极值通常由母本概率密度函数(PDF)尾部决定。前述基于矩的HPM、JTM和SGLD模型均可基于前四阶矩给出非高斯母本 PDF，并应用于非高斯随机过程极值估计[10—18]。然而，对于相同的前四阶矩，现阶段关于该三种模型预测出的非高斯母本PDF的差别，尤其是尾部的差别尚不清楚，自然地，对于采用这三种模型预测的极值的差别亦无从可知。

为了比较三种模型的异同，给三种方法应用于非高斯风压峰值因子估计时的选取提供指导，本文研究了三种方法对非高斯风压峰值因子的估计效果。首先对比了三种模型基于矩预测的非高斯母本PDF的差异，从理论上明确三者求得的非高斯峰值因子不同的原因。其次，为了验证前述理论分析结果，对比三种模型预测的非高斯风压峰值因子和实际值的差别，选用长时距风洞试验风压数据检验了三种方法对非高斯风压峰值因子的估计效果。

1 方法介绍

1.1 Hermite多项式模型——HPM

标准的非高斯风压时程 X(t)可通过一个单调的转换函数与标准的高斯风压时程U(t)联系起来[8]。

式中：x和u分别为标准的非高斯和高斯随机变量；g ( )为转换函数；FX和Φ分别为X(t)和 U(t)的累积概率分布函数(CDF)，为FX的反函数。根据高斯过程极值穿越理论，时长为T的高斯随机过程极值的累积概率分布函数为：

式中：v0为零均值上穿越率；假设高斯过程和非高斯过程零均值上穿越率相等，即 v0= σX˙/ (2πσX)，σX和σX˙为X(t)和X˙(t)的标准差。根据此转换模型，p分位点标准非高斯过程的极值xpmax可表示为：

式中，upmax为p分位点标准高斯随机变量的极值。

Winterstein研究表明标准软化非高斯(峰度大于3)随机变量的转换函数g(u)可基于Hermite多项式模型表示为[10]：

式中，k、h3和h4均为模型系数，其可由非高斯过程的前四阶矩得到。对于峰度范围为 3～15的非高斯随机变量，模型系数的计算表达式为[16]：

式中，3α和4α分别为偏度和峰度。

对于硬化的非高斯过程(峰度小于3)，转换函数可表达为[4]：

式中：b2、b3和b4均为模型系数；g-1()为g()的反函数b2、b3和b4的表达式为[4]：

式中， φ = [ 1 - 0 .06(3 - α4)]1/3。

基于矩的转换函数需为单调递增函数，这一限制条件使得HPM软化非高斯过程的偏度和峰度需满足：

对于 HPM 硬化非高斯过程的偏度和峰度需满足：

1.2 Johnson转换模型——JTM

Johnson基于中心极限定理提出了一种非高斯随机变量x与高斯随机变量u的转换模型，即Johnson转换模型(Johnson Transformation Model，JTM)。JTM可以表示为[11]：

式中：参数η和γ决定分布曲线的形状；J( )分为三类，分别表示为：

式中：λ为尺度参数；ε为位置参数；SL中λ=1。

JTM的反函数可表示为：

式中，J-1()为J()的反函数，即式(17)～式(19)的反函数可表示为：

其中， w =exp(η-2)。w的解析式为：

其中：

因此，整个偏度-峰度平面被SL曲线和适用范围边界线(α4=+1)分为三个部分：不可能区域位于适用范围边界线以下，SB区域位于SL曲线和边界线之间，SU区域位于SL曲线以上。为便于对比，将Hermite多项式模型的适用范围也作于图1中，很明显JTM的适用范围比Hermite多项式模型的适用范围更广。

图1 Hermite模型及JTM模型的适用范围Fig.1 Application range of Hermite model and JTM model

SU区域：

SB区域：

SL区域：

1.3 SGLD模型

Low[12]综合平移对数正态分布能代表不同偏度范围和指数幂分布能代表不同峰度范围的特性来获得能代表广泛的偏度和峰度的分布模型，提出了SGLD(shifted generalized lognormal distribution)分布模型。SGLD分布的概率密度函数为[10]：

式中：b和θ分别为位置参数和尺度参数；σ和r为形状参数。SGLD模型的适用范围与JTM模型相同。SGLD分布的概率密度函数中的4个参数可通过矩估计法得到。利用随机变量x的前四阶矩可得到四个等式[19]。

通过求解上述非线性方程组就可得到SGLD模型的参数值。

2 HPM、JTM和SGLD模型理论对比

对于标准软化的非高斯过程，选取偏度为0、峰度不同的组合，通过Hermite多项式模型、JTM 模型和 SGLD模型求得的非高斯母本 PDF对比如图2(a)所示，对应的转换函数对比如图3(a)所示。从图2(a)可以看出，非高斯母本PDF尾部有所差异。从图3(a)可得，当标准高斯值小于某一值时，三种模型求得的标准非高斯值比较接近；当标准高斯值某一值时，三种模型求得的标准非高斯值有一定的差别。对于硬化的非高斯过程，同样的对比如图2(b)和图3(b)所示，可以看出，与软化过程有同样的规律。

图2 软化和硬化非高斯随机过程的母本PDF(偏度=0)Fig.2 Parent PDF for softening and hardening non-Gaussian random processes (skewness=0)

由图1可知，HPM模型的适用范围最小。为了进一步对比Hermite多项式模型适用范围内三种模型对峰值因子的估计效果，选取三种模型都适用的偏度和峰度组合范围，即 HPM 的适用范围，以高斯峰值因子取3.8和4.5为例研究估计的非高斯峰值因子的差别。图4为高斯峰值因子为3.8时，三种模型估计的极大值的非高斯峰值因子；受篇幅限制，高斯峰值因子为4.5时的非高斯峰值因子分布规律类似，本文未列出。此外，求解极小值的时只需将偏度乘以-1，得到类似的规律。

图4 三种模型估计的非高斯峰值因子等值线图(高斯峰值因子=3.8)Fig.4 Contour maps of predicted non-Gaussian peak factors for three models (Gaussian peak factor = 3.8)

图5和图6给出了三种方法求得的峰值因子图及三种模型间的误差，HPM和JTM之间的误差计算公式为，HPM和SGLD之间的误差计算公式为，JTM 和 SGLD 之间的误差计算公式为

根据图4～图6可知：

1) 当高斯峰值因子取3.8时，HPM模型与JTM模型、SGLD模型所求得的峰值因子在长尾部分(即偏度大于零时)相差不大，差别在5%左右；在短尾部分(即偏度小于零时)，随着偏度和峰度的增加差距逐渐增大，误差在6%～60%。

图5 三种模型峰值因子误差对比等值线图(高斯峰值因子=3.8)Fig.5 Error contour maps of peak factors among three models(Gaussian peak factor = 3.8)

图6 三种模型峰值因子误差对比等值线图(高斯峰值因子=4.5)Fig.6 Error contour maps of peak factors among three models(Gaussian peak factor = 4.5)

2) 当高斯的峰值因子取为 4.5时，HPM 模型与JTM模型、SGLD模型所求得的峰值因子在长尾部分相差4%～20%；在短尾部分，随着偏度和峰度的增加，差距逐渐增大，误差在 10%～70%。与高斯的峰值因子取为3.8时相比，差距有增大的趋势。

3) 当高斯峰值因子取为3.8时，SGLD模型与JTM模型所求得的峰值因子在长尾部分相差不大，误差小于 5%；在短尾部分，随着偏度和峰度的增加，差距逐渐增大(相差5%~30%)，但与HPM模型求得的峰值因子相比差距小。

4) 当高斯峰值因子取为4.5时，SGLD模型与JTM 所求得的峰值因子在长尾部分差别在 2%~10%，与高斯峰值因子取为 3.8时相比差别有所增加。在短尾部分，随着偏度绝对值和峰度的增加，差距逐渐增大，差距在 10%~50%；与高斯峰值因子取为3.8时的差距相比有所增大。

3 数据验证

3.1 非高斯风压数据

为了研究三种模型应用于实际风洞数据的估计结果，本文选用了一组超长风洞试验风压数据进行验证。风压数据取自加拿大西安大略大学边界层风洞试验Ⅱ，模型(FL30)缩尺比为1∶50，如图7(a)所示[20]。屋盖上474个压力测点(标记为“+”)，测点布置如图7(b)所示。试验的来流风场模拟郊区地貌，粗糙度长度z0=0.23 m，一共测试了三个风向，分别为 120°、125°和 130°，本文采用的数据为 120°风向角风压系数。风速缩尺比为 1∶5，时间缩尺比为1∶10。风洞试验采样频率为400 Hz。屋盖表面总共474个测点，每个测点有180段持续时长为60 s(对应原型结构中的10 min)的风压记录，即每个测点记录了 3 h的实验数据(对应原型结构中的30 h)。

图7 模型FL30及屋顶测压点位置Fig.7 Model FL30 and pressure tap locations on roof

3.2 三种方法对所有测压点的总体效果

图8为风洞试验风压数据所有测点的高斯峰值因子等值线图，从图8可以看出，风压数据对应高斯峰值因子范围为4.0~4.5。

图8 高斯峰值因子等值线图Fig.8 Contour maps of Gaussian peak factor

从前述理论分析部分可知，当高斯的峰值因子值较大时，三种基于矩的方法求得的非高斯峰值因子的差别有增大的趋势。为验证当高斯的峰值因子值较大时三种方法应用于实际数据的准确性，基于一组超长风洞试验风压数据比较了三种模型估计的峰值因子与实际超长数据所得的峰值因子的效果。三种模型求得的峰值因子与数据对比的误差结果见表1。

表1 HPM、JTM和SGLD模型估计的峰值因子误差水平Table 1 Error level of peak factor estimated by HPM,JTM and SGLD

从表1可知，Hermite模型、JTM模型和SGLD模型误差小于 15%的百分比分别为 77.5%、68.3%和63.3%；基于此结果可知，Hermite模型的估计效果比SGLD模型和JTM模型估计效果更好。

4 结论

本文首先在理论上对比了 Hermite多项式模型、JTM模型和SGLD模型在Hermite多项式模型适用范围内的非高斯过程峰值因子估计效果，然后通过选用一组超长风洞试验风压数据，检查了三种方法对非高斯风压峰值因子的估计效果。研究得出以下结论：

(1) 当高斯峰值因子较小时，Hermite多项式模型、JTM模型和SGLD模型对正偏斜非高斯分布极大值的峰值因子估计效果较为一致；三种模型对负偏斜非高斯分布极大值的峰值因子估计结果相差较大，JTM模型和SGLD模型估计结果较为接近。

(2) 当高斯峰值因子较大时，JTM模型和SGLD模型预测的峰值因子与Hermite多项式模型预测结果相比差别较大；本文采用一组低矮房屋超长测压数据进行验证，结果表明Hermite多项式模型估计结果相比SGLD模型和JTM模型估计结果更优。

(3) 综合来看，Hermite多项式模型估计结果更为接近实际值，但存在单调性限制，此时可通过定义新的统计矩，分别使用大于或小于中值的分布来分别估计最大值或最小值[21]或推导出 Hermite多项式模型对应不同偏度和峰度组合的完整表达式[13,22]来解决。