贾伟亚，魏岳嵩，杨兆新①

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北235000）

0 引言

近些年，变点问题是计量经济学和统计学研究的热点问题之一，在理论和实践等方面有诸多应用.变点是模型中的某个或某些量突然变化之点［1］. 变点问题最初在质量控制领域被提出，之后，大量的学者进行推广和完善，逐渐将变点问题应用在通信、医学、金融、水文等领域.

变点在线监测问题是指在已有模型基础上对新观测的数据进行监测，直到出现变点才停止［2］. Horvath等［3-4］应用最小二乘估计研究线性模型系数变点的残差在线监测问题；Gombay 等［5］通过引入有效得分向量，将变点的在线监测问题推广到AR（p）（p阶自回归）模型中；薛义新等［6］对变点的残差CUSUM（cumulative sum method，累积和方法）监测统计量进行构造，证明累积和统计量在原假设和备择假设下的极限性质；Aue 等［7-8］分别应用渐近线变点监测和波动监测程序研究RCA（1）（1 阶随机系数自回归）和RCA（p）（p阶随机系数自回归）模型中参数变点的在线监测问题；Xia等［9］提出加权残差的CUSUM检验和MOSUM（Moving sum，滑动和方法）检验2种变点检验方法；Pape等［10］提出在线监测p维随机变量序列方差变点的方法；陈占寿等［11-12］通过引入窗宽参数进行线性回归模型和自回归模型的参数变点监测，均对原模型进行修正后的变点监测，有效缩短变点监测的平均运行长度，有一定的优越性. 类似对自回归模型参数变点的残差CUSUM在线监测问题，引入窗宽参数进行分析.

本文对AR（p）模型的参数变点监测进行分析，对AR（p）模型进行系数变点在线监测. 利用最小二乘估计法构造残差的CUSUM监测统计量，该检测统计量中引入的窗宽参数对起始时刻进行调整，将变点出现的其他时刻移动到起始时刻，提高检验势，缩短平均运行长度. 证明引入窗宽参数后的监测统计量在原假设和备择假设下的极限性质.

1 模型假设

考虑如下AR（p）模型

令Yi=(1,yi-1,…,yi-n)T，Φi=(φi0,φi1,…,φip)T，模型简化yi=YiTΦi+εi(i≥1).这里进行如下假设：

假设1 Φi=Φ0,1 ≤i≤m.

假设2 {εi,i≥1} 是独立同分布的随机变量序列，Eεi=0 ，0＜σ2=Varε1＜∞，E|ε1|v ＜∞，其中v ＞2.

假设3 AR（p）模型平稳，即它的p个特征根都在单位圆内.设H0:Φi=Φ0，i=m+1,m+2,…,m+n.H1：存在k∗≥1，使得

其中：Φ0≠Φ∗. 当Q(m,k,h)第一次超过g(m,k,h)时拒绝假设H0，定义停止时刻

其中：Q(m,k,h)与g(m,k,h)分别表示监测统计量和边界函数. 定义

本文使用最小二乘法估计未知参数Φn和σ2，Φn的估计量为，其中

σ2的估计量为

2 残差的CUSUM监测统计量

由监测统计量和边界函数给出下列定义

由文献［13］定理3.7、3.8及注解3.9有

引理1 设是C 的第一列，在式（1）的条件下，有

及

证明类似文献［14］中引理5.1的证明.

引理2 在假设1～3和H0下，当m→∞时，那么有

其中

证明由于

由中心极限定理和式（2）得

由引理1，存在ξ1和m0，使得

综合式（2）（4）（5）得

又

得

这里m→∞. 由式（4）和式（7）得

结论得证.

引理3 在假设1～3和原假设H0下，存在2个相互独立的维纳过程

那么有

证明由假设2可得是相互独立的，其中m=1,2,…. 因此，对任意m的K-M-T近似值［15-16］，有2个相互独立的维纳过程和{W2,m(t),0 ≤t＜∞}，使得

所以

和

结论得证.

3 极限分布定理

定理1 在假设1～3和原假设H0下，那么有

和

由叠对数原理，对∀δ ＞0，有

由初等定理得

其中T→∞. 由式（11）～（13），得

其中∀δ ＞0.由的叠对数原理得

其中∀δ ＞0.由式（8）～（10），式（14）（15），得

假设明确表明

由引理3和式（16）～（18），结论得证.

定理2 若假设1～3成立，且CT1( )

Φ0-Φ∗≠0，在备择假设H1下，那么有

证明设，由假设H1可得

由定理1得

由式（3）有

由式（20）可得

由式（19）与（21），结论得证.