王东荣，龙波涌，黄华鹰①

（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥230601）

0 引言

记C为复数集，N为自然数集，D={z∈C:|z|＜1} 为单位圆盘. 记A为在单位圆盘D内解析，且满足正规化条件f(0)=f′(0)-1=0 的函数f(z)的全体. 则A中的函数有展开式

记S为A中单叶函数的全体. 分别记α阶星象函数、α阶凸函数以及导数的实部大于α的函数类为S*(α)、K(α)和R(α)，则当函数f,g,h∈S且α∈[ )

0,1 时，有

显然，S*(0)=S、K(0)=K和R(0)=R分别是星象函数类、凸函数类以及导数具有正实部的函数类. 当α取特殊值时，对于所得到的函数类的研究也很有价值. 例如，令，则有，而函数类在解决一些微分方程问题中会常常碰到［2］.

当f∈A时，Pommerenke［3-4］定义了函数f(z)的q阶Hankel行列式为

其中n,q∈N. 之后，Hankel行列式引起了数学工作者的极大兴趣.

当q=2，n=1 时，H2( )1 就是经典的Fekete-Szegö 泛函［5］，早在1930 年就有人研究. 然而若将q或n的值取得更大，则对于Hankel 行列式的研究就会困难很多. 文献［6］首先研究函数类S*、K和R对应|H3(1 ) |的上界，后来有很多人研究H3(1 ) ，参见文献［7-10］.

Janteng等［11-12］得到函数类S*、K以及R对应 |H2( 2 )|的最佳估计. Lee等［13］研究关于一个给定函数φ的Ma-Minda 星象函数类S*(φ)的二阶Hankel 行列式，并得到β阶的强星象函数类S*β的 |H2( 2 )|≤β2，α阶星象函数类S*(α)的 |H2( 2 )|≤(1-α)2. 其他一些函数类二阶Hankel行列式的研究见文献［14-17］.

由式（2）有本文研究S*(α)、K(α)以及R(α)对应的二阶Hankel 行列式H2( )3 ，分别估计其对应 ||H2( )3 的上界.R(α)对应的 ||H2( )3 的上界是最佳的. 当系数a2=0 时，得到S*(α)和K(α)对应 ||H2( )3 的最佳上界.

1 预备知识

记P是由在D内解析且Re(p(z))＞0，p(0)=1的全体函数. 若p∈P，则p有展开式

引理1［18］若p∈P，则p(z)展开式的系数有最佳不等式 |pn|≤2，其中n=1,2,….

引理2［19］若p∈P，则有最佳不等式 |pn-μpk pn-k|≤2，其中：μ∈[0,1] ；n,k=1,2,…；n ＞k.

引理3［20］若p∈P，则有，等式成立当且仅当以及它们的旋转.

注1 由文献……