张文哲

【摘要】求解一元二次方程的新方法最近已经被提出，相较于不容易记忆的求根公式，该方法利用了韦达定理和平方差公式.本文将讨论这种方法带给高等数学相关问题求解的影响，并发现使用这种新方法对问题进行推导时，过程有所简化，更有利于学生学习.

【关键词】一元二次方程;高等数学;数学教育;问题求解

一、引 言

一元二次方程的求解已在初等数学中讨论过，如果方程为整系数，可采取观察法，先因式分解再求解，比如“十字相乘法”;如果凑不出整数因子，通常会将方程进行适当变形，然后依据完全平方公式进行配方，再开方降次求根.尽管一元二次方程有求根公式，但不太容易记忆，最近PoShen Loh[1]（罗博深）提出了一种求解一元二次方程的新方法，该方法使用韦达定理（根与系数之间的关系）和平方差公式，既避免了配方法由于出现分母使得计算量增大的问题，又不用去记忆求根公式，从而简化了计算过程.

在高等数学学习中，也会遇到一元二次方程的求解问题，如果利用新的方法来求解，我们可以看到它带来的变化.

二、一元二次方程的新解法

PoShen Loh（罗博深）利用根与系数的关系以及平方差公式提出了求解一元二次方程的新公式.我们先将方程ax2+bx+c=0（a≠0）化为x2+bax+ca=0，由韦达定理，两根之和为-ba，两根之积为ca.PoShen Loh（罗博深）由方程的两个根可为-b2a±z的形式，其中z为所求未知数，而又有-b2a+z-b2a-z=ca，考虑复数域C上的解，可得z的形式为z=±b2-4ac2a.该方法使得学生不需记忆求根公式，同时也避免了使用配方法由于出现分母所导致的计算量较大的问题.

三、一元二次方程的新解法在微分中值定理中的应用

考虑多项式函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在闭区间[m，n]上的情形，其中a，b，c，d，m，n均为常数，且a≠0，m

由定理知，至少有一个ξ（m<ξ

由拉格朗日中值定理，有f（n）-f（m）=f′（ξ）（n-m），

经过适当变形，问题归结为解方程：

3aξ2+2bξ-（an2+anm+am2+bn+bm）=0（m<ξ

-b3a+z-b3a-z=-an2+anm+am2+bn+bm3a，

从而可得

b29a2-z2=-an2+anm+am2+bn+bm3a，

由拉格朗日中值定理可知存在实数解，从而有

z=±b2+3a2n2+3a2nm+3a2m2+3abn+3abm3a，

从而有两个根：

ξ1=-b3a+b2+3a2n2+3a2nm+3a2m2+3abn+3abm3a，

ξ2=-b3a-b2+3a2n2+3a2nm+3a2m2+3abn+3abm3a，

则由开区间（m，n）可确定ξ.

四、一元二次方程的新解法在函数单调性与曲线凹凸性中的应用

1.新解法在函数单调性中的应用

考虑函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），有导数f′（x）=3ax2+2bx+c.

考虑方程f′（x）=3ax2+2bx+c=0，因为a≠0，从而有3ax2+2b3ax+c3a=0，因此方程根的形式为-b3a±z，进而-b3a+z-b3a-z=c3a，可得b29a2-z2=c3a，z2=b2-3ac9a2.

当b2-3ac≤0时，若a>0，则f′（x）≥0，函数在定义域（-∞，+∞）内单调增加;若a<0，则f′（x）≤0，函数在定义域（-∞，+∞）内单调减少.

当b2-3ac>0时，解得z=±b2-3ac3a，从而f′（x）有两个根x1=-b+b2-3ac3a和x2=-b-b2-3ac3a.

考虑函数f（x）的二阶导数f″（x）=6ax+2b，將根的形式-b3a±z代入，有f″（x1）=b2-3ac3a，f″（x2）=-b2-3ac3a.

因为b2-3ac>0，所以f″（x1）≠0，f″（x2）≠0.

从而，若a>0，则x1>x2，函数f（x）在（-∞，x2）内单调增加，在x2，x1上单调减少，在x1，+∞内单调增加，且f″（x1）>0，f″（x2）<0，由第二充分条件，知函数f（x）在x1处取极小值，在x2处取极大值;若a<0，则x2>x1，函数f（x）在（-∞，x1）内单调增加，在[x1，x2]上单调减少，在（x2，+∞）内单调增加，且f″（x1）<0，f″（x2）>0，由第二充分条件，知函数f（x）在x1处取极大值，在x2处取极小值.

2.新解法在曲线凹凸性中的应用

考虑函数

f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+n（a≠0），x∈（-∞，+∞），

一阶导数f′（x）=4ax3+3bx2+2cx+d，

二阶导数f″（x）=12ax2+6bx+2c.

二阶导数f″（x）=12ax2+b2ax+c6a，考虑方程f″（x）=0.

不妨假设方程的根为-b4a±z，

由根与系数的关系，

有-b4a+z-b4a-z=c6a.

当3b2-8ac≤0时，若a>0，则f″（x）>0x≠-b4a，函数f（x）在定义域（-∞，+∞）内的图形是凹的;若a<0，则f″（x）<0x≠-b4a，函数在定义域（-∞，+∞）内的图形是凸的.

当3b2-8ac>0时，z=±3b2-8ac43a，从而f″（x）=0有解：

x1=-b4a+3b2-8ac43a，x2=-b4a-3b2-8ac43a.

若a>0，则x1>x2，函数f（x）在（-∞，x2）内图形是凹的，在x2，x1上是凸的，在x1，+∞内是凹的;若a<0，则x1

五、一元二次方程的新解法在常微分方程中的应用

考虑二阶常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0，其中p，q是常数.

通过具体的实例来看一元二次方程的新解法的应用.

例1 求微分方程4y″-20y′+25y=0的通解.

解 由特征方程为4λ2-20λ+25=0，可得λ2-5λ+254=0，特征方程的解为52±z，从而有52+z52-z=254，得到z=0，因此特征方程有两个相等的实根λ1=λ2=52，因此所求微分方程的通解为y=（C1+C2x）e52x.

例2 求微分方程y″+6y′+13y=0的通解.

解 该微分方程的特征方程为λ2+6λ+13=0，由此可得特征方程的解为-3±z，从而有（-3+z）（-3-z）=13，得到z=±2i，因此特征方程有一对共轭复根λ1=-3+2i，λ2=-3-2i，因此所求微分方程的通解为y=e-3x（C1cos 2x+C2sin 2x）.

例3 求微分方程3y″+11y′+10y=0的通解.

解 对应特征方程为3λ2+11λ+10=0，可得λ2+113λ+103=0，其解为-116±z，从而有-116+z-116-z=103，得到z=±16，因此特征方程有两个不相等的实根λ1=-53，λ2=-2. 因此微分方程的通解为y=C1e-53x+C2e-2x.

六、结 语

本文讨论了一元二次方程的理论在高等数学当中的应用，包括微分中值定理、函数单调性与曲线凹凸性以及二阶常系数齐次线性微分方程.可以发现PoShen Loh（罗博深）的方法可以帮助我们更加简单明确地求解一元二次方程，能够简化高等数学当中相关问题的推导，我们也在具体教学过程中进行了尝试，发现不仅有利于学生的学习，更能激发其学习兴趣.

【参考文献】

[1]Loh P S.A Simple Proof of the Quadratic Formula[J].arXiv，1910.06709，2019.

[2]同濟大学数学系.高等数学：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]一泓.条条大路通罗马：一元二次方程的新解法[J].初中生数学学习，2001（30）：41-44.