周仲旺 孙建安

【摘要】众所周知，勾股定理是针对直角三角形而言的，本文把勾股定理推广到除等边三角形以外的任意三角形，引入广义勾股定理，使勾股数成为历史，用它可以非常简单地判断一个三角形是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形.根据广义勾股定理，引入三角形的秩、新正弦和新余弦，从而已知三角形的秩时，任意三角形都可以当作直角三角形来解;不知三角形的秩时，也得到了解三角形的简捷方法，此时没有必要像通常那样使用正弦定理和余弦定理.最后，本文给出三角形的秩的几何意义.

【关键词】广义勾股定理;三角形的秩;新正弦;新余弦

一、广义勾股定理

定理1 对正实数a，b，c，若满足a≤b2时，a，b，c构成锐角三角形.

该定理可以看成广义勾股定理，这样，不光直角三角形才有勾股定理，除底边小于等于腰的等腰三角形外，每个三角形都有一个勾股定理， 也就是说，除底边小于等于腰的等腰三角形外， 每个三角形都对应着唯一一个大于等于 1的实数n，我们把这个实数n称为三角形的秩.对于任意给定的大于1的实数n，秩为n的三角形有一族，像秩为2的（直角）三角形可以看成一族那样，底边小于腰的等腰三角形的秩是正无穷大，这样的三角形显然是锐角三角形（可以认为它的秩大于2），它也构成一族三角形，底边等于腰的等腰三角形即等边三角形，是唯一没有秩的三角形，显然，等边三角形也可以看成一族，这一族含的三角形最……