(江苏省太仓高级中学,江苏 苏州 215411)

1 问题的提出

高铁已经成为我国的一张名片，为人们的出行带来极大的方便，铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，如图1所示，已知内外轨道相对水平面的倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R，当火车转弯时的速度v为多少时，火车既不挤压内轨道、也不挤压外轨道？

图1

图2

在问题解决中，学生的典型错误是受前概念的影响，认为重力和支持力的合力方向是沿斜面向下，即F=mgsinθ(如图2)，该力提供向心力，mgsinθ=mv2/r。究其原因，学生对火车转弯问题的模型建构过程和本质没有达成深度理解。

2 问题分析

为了帮助学生实现深度学习，提升其思维品质，可将实际问题分段呈现，通过4个层次的模型建构，实现问题的解决，具体过程如表1。

表1

(1) 火车在平直铁路上以某一速度匀速行驶时，忽略一切阻力，重力和支持力平衡；

(2) 火车在平直铁路上以某一速度向右转弯时，忽略一切阻力，当火车速度较小时可以借助车轮和铁路的侧向静摩擦力提供向心力，当火车速度较大时为了防止火车脱轨，可以借助车轮轮缘和铁路的挤压来提供向心力，但时间长了铁轨容易损坏；

(3) 为消除上述影响，可在转弯处将铁路修成外高内低。当火车速度很大时，火车可能会受铁路外轨道对其沿斜面向下的弹力。当火车既不挤压内轨道也不挤压外轨道时，其受力如图3所示。火车做圆周运动的轨迹在水平面内，所以火车所受重力和弹力的合力在水平面内，即mgtanθ=mv2/r，从而求得所需要的速度v。

图3

3 问题解决

上面从学科逻辑的角度进行了分析，要将其内化为学生的“个人知识”，需要基于学生认知逻辑进行深度教学，以下为具体的教学过程。

3.1 实际问题的模拟

(1) 用木头制作火车的车轮，做两个直径为6cm,高为3cm的圆柱体，用长为20cm的横杆连接两圆柱体中心，呈哑铃形；

(2) 用横截面是边长为2cm的两个正方形，长为2m的两根铝制长条作为铁路直轨道；

(3) 再用横截面是边长为2cm的两个正方形，长为2m的两根铝制长条做成前面一小段是直轨道，后面是弯形轨道，上课时将装置放在讲台前面的长桌子上展示给学生，两轨道(不连接)平行放置并调节水平。

3.2 从“浅层”到“深度”的进阶

3.2.1 轨道从平直到有弯道

(1) 让一个学生轻推一下“车轮”，观察到车轮在轨道上保持直线运动。

(2) 然后将“车轮”放在有弯道的轨道上，让学生轻轻推(初速度较小)，发现车轮可以在轨道上转弯通过。

(3) 继续将“车轮”放在有弯道的轨道上，让学生快速推(初速度很大)，发现车轮脱离轨道。

生成问题：当车轮速度较小时，为什么可以在弯道上行驶？什么力提供了向心力？车轮速度较大时，为什么会脱离轨道？

在这个问题的思考和解决过程中，一方面可以培养学生的抽象、综合和建模的科学思维，提升学生将生活实际问题转化为物理模型的能力，另一方面可以说明离心现象。

3.2.2 车轮从圆柱到有轮缘

为了防止火车速度较大时的脱轨现象，引导学生设计方案，解决面临的实际问题。

图4

方案1：将轨道和车轮设计得粗糙一些，增大它们间的最大静摩擦力。

方案2：将车轮内侧半径设计得大一些、有轮缘(如图4)，车轮可卡在轨道间。

对于方案1，经过分析发现如粗糙程度大，火车前进过程中受到的阻力也大，能耗大，并且粗糙程度也不好控制，所以该方案不可行。

对于方案2，将课前准备好的两个直径为8cm、高为1cm的圆柱体用双面胶贴在“车轮”的内侧，将两弯道平行放置，再次以较大速度将车轮推出去，发现车轮在转弯时“铁路”外轨道会被挤压，在地面上发生了侧滑。

3.2.3 轨道从水平到有坡度

在车轮加装轮缘后，如何防止火车脱轨呢？继续引导学生设计方案解决实际问题。

方案1：将内外轨道用铁丝连接在一起。

方案2：将外轨道垫高，使轨道平面与水平面成一定夹角(图1)……

对于方案1，用准备好的铁丝将两轨道连接，以很大速度将车轮推出去，结果发现之前用双面胶粘的轮缘被挤压掉了，并且轨道在桌面上发生了滑动，长时间肯定会造成车轮和轨道的损坏，所以不可行。

对于方案2，引导学生进行受力分析，并且注意火车做圆周运动的圆形轨迹是在水平面内(如图3)，得出火车既不挤压内轨道、也不挤压外轨道时的速度v与轨道平面的倾角θ和弯道的半径r直接相关，通过模拟实验演示发现这个方案可行，从而问题得到解决。

4 问题拓展

问题解决后，可进行关联拓展，展示高速公路上转弯处的路面和室内自行车比赛赛道(如图5、图6)。让学生解释转弯处的路面或赛道倾斜的原因，并引导学生分析在弯道处超车时可能发生的现象或情况，在物理教学中对学生进行交通安全教育。

图5

图6