周潘 岳岳成雪 何婧

【摘要】本文给出了高等代数教材中一道课后习题的详细解答，结合教学经验提出本题的讲解技巧和方法，从而加深学生对该题的理解，帮助学生巩固相关知识.

【关键词】n次单位方根;教学思考;因式分解

【基金项目】湖南省普通高校教学改革研究项目（湘教通[2018]436号）.

一、问题的提出

北京大学数学系编的高等代数第四版第一章课后习题第26题：将多项式xn-1在复数范围内和实数范围内因式分解.下面是众多参考书中的解答方法.

对上述的解答过程，很多学生表示看不太懂，有的學生表示即使看懂了也不明白该如何去思考这类问题，无法做到触类旁通.学生之所以存在这样的问题，往往是由于对知识点的理解不够透彻.本题涉及的知识点很多，比如，代数基本定理，实数域和复数域上的因式分解唯一性定理，重根的性质，不可约多项式的定义等等.这是一道综合题，对学生而言，不仅要知道该题所涉及的数学知识点有哪些，还要知道这些知识点在该类问题中是如何应用的.特别是对部分省市的学生，他们的高中数学内容并没有涉及复数的有关知识或是作为选修课的内容进行教学，学生对复数知识点的掌握较为模糊，因此，在求解本题时往往陷入瓶颈.作为任课教师应考虑如何讲解本题，做到既能让学生知其然而又知其所以然，与此同时，由于课堂时间有限，又不能将本题涉及的所有知识点都一一讲解.基于此，本文将探索作为任课教师如何利用有限的课堂时间对本题进行讲解，同时让不同学习背景的学生都能明白和理解本题及相关知识.

二、解答的详细剖析

（一）复数的预备知识

针对有些学生没有学习过复数相关知识的情况，教学中，教师首先要对复数的基本概念等相关内容做一些补充.

形如a+bi的数叫作复数，其中a，b是实数，i2=-1.复数通常用字母z表示，即z=a+bi，（a，b∈R），这一表示形式称为复数的代数形式，a与b分别叫作复数z的实部与虚部.称a2+b2为复数z=a+bi的模或长度，记为|Z|.当两个复数的实部相同，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数.

从复数相等的定义知道，任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定.而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以构建一一对应.于是复数z=a+bi可以看作向量OP，如图所示.向量OP可以由其大小和方向决定：OP的大小为|OP|=r=a2+b2，其方向为OP的倾斜角θ.

（二）因式分解的知识

由因式分解唯一性定理可知，次数大于等于1的多项式，在实数域上能唯一分解成一些一次因式和二次不可约因式的乘积.在复数域上能唯一分解成一些一次因式的乘积.

由一次因式与根的关系，只需要找出xn-1在复数域上的所有根就能知道该多项式在复数域上的因式分解，而在实数域上的因式分解只需要对其实根进行讨论.换句话说，在复数域和实数域上的因式分解，最终都转化为对其根进行研究.

三、教学反思

本题为考研常考类型题，该类题目涉及知识点多，解题过程复杂，课堂上没有足够的时间进行详细讲解.大多授课教师在实际授课中往往要求学生直接记住n次单位根，或是只给出解题思路方法，更有甚者选择不讲而让学生课后找资料自行消化.然而，很多学生没有能力独自解决问题，或是知难而弃，同时也大大降低学生的学习积极性，导致大部分学生没有学到应掌握的知识.针对这一情况，授课教师可以采用微课的教学手段，将该题的讲解过程录制成微课视频提供给学生，让学生利用课余时间观看，再利用课堂时间对学生观看讲解视频后提出的问题有针对性地进行解答.如此，既节省了课堂时间，又能保证学生对该题充分理解，同时又照顾到了不同学习背景的学生，由此达到教育要促进全体学生共同发展的理念.

【参考文献】

[1]沈文选.1的n次单位根的性质及应用[J].中学教研，1993（9）：31-35.

[2]北京大学数学系.高等代数：第4版[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]王萼芳，石生明.高等代数辅导与习题解答[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4]徐仲.高等代数导教·导学·导考[M].西安：西北工业大学出版社，2014.

[5]中学数学课程教材研究开发中心.高中数学·选修2-2[M].北京：人民教育出版社，2005.