殷开勇

摘 要：数学核心素养是数学课程目标的集中体现。高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等六个方面。本文阐述了在数学概念的教学中，培养学生的数学抽象和建构能力以及在公式定理的教学中，培养学生的逻辑推理能力等两个方面的策略。

关键词：数学核心素养;数学抽象能力;逻辑推理能力

中图分类号：G633.6          文献标识码：A

文章编号：1992-7711（2019）21-017-2

数学核心素养的内涵包含了数学核心知识、核心能力与核心品质。主要由数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析这六个方面所组成。数学核心素养是数学课程目标的最高体现，是学生在长期的学习过程中不断积累养成的。笔者现谈谈如何培养学生数学抽象和建构能力和数學逻辑推理能力。

一、在数学概念的教学中，培养学生的数学抽象和建构能力

数学抽象是数学的基本思想，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。在数学教学活动中，教师应注重对学生抽象能力的培养，使学生养成一般性思考问题的习惯，更好地理解数学的概念、命题、结构和系统，提升学生的数学抽象能力及建构能力。

案例1 角的推广——任意角的概念

问题1：在初中，我们已经学过了锐角、直角、钝角、平角等角度，而现实生活有些角度是不能用这些角度来表示的，大家能举出一些例子吗？

学生：体操中的转体720°、时针周而复始地旋转等。

教师：体操中的转体还可以分为向前转体，向后转体，又该如何表示这类角度呢？

无论是现实生活中，还是研究需要，都需要将角度进行推广。

问题2：怎样对角的概念进行推广呢？

通过学生自行动手作图，教师动画演示等，发现通过旋转可以产生角，改变旋转的方向可以改变角度的方向，超过360°的角度可以通过增加旋转圈数来实现。进而确立“旋转”可以形成角这个认知。

教师：旋转方向可以是顺时针方向，也可以是逆时针方向。那么，如何区分这两种具有相反意义的旋转量呢？

学生：可以采用类似于数可以分为正数和负数的方式来区分。

为了区分不同旋转方向所形成的角，我们作如下规定：

按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角;

按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角;

如果射线没有做任何旋转，那么也可以看成是一个角，叫做零角。

教师：角的概念推广后，它就由我们熟悉的那几个角度推广到了任意角，它可以是正角、负角、零角。请大家自己动手作出α=390°，β=-120°。

（学生独立作图后互相交流、讨论）

本章节的设计通过让学生从生活中寻找与角度有关的现象，进而从中抽象出角度这个概念。通过规定旋转的方向，就可以把角度扩展到正角、负角。后面学习了弧度制以后，角的度数就可以扩充到全体实数，角的概念也就推广到了任意角。从生活到数学，从具体到抽象，学生亲身经历了“任意角”这个概念的由来，对概念的产生和发展有着更直观的认识，形成了一定的活动经验。

案例2 “任意角的三角函数”教学案例

情境引入：周末，小王到游乐园游玩，小王坐上半径为r的摩天轮，摩天轮绕着其中心O按逆时针方向旋转（旋转角为θ）假设小王的起始位置在点A处。随着摩天轮的转动，小王的位置在不断变动，如何刻画小王在每一个瞬间的位置P呢？

（学生经过几分钟思考、讨论）

学生：可以以水平线为x轴，圆心O为坐标原点建立一个直角坐标系，点P可以用有序实数对（x，y）来表示。

设计意图：随着摩天轮的旋转，让学生通过直观想象和数学抽象，可以把摩天轮抽象为一个圆，小王所在的位置抽象为圆上的一个点，这样小王随着摩天轮的旋转就可以抽象为一个动点P在一个圆周上的运动。

教师：在摩天轮旋转的过程中，哪些量在发生变化？

学生：r不变，θ，x，y发生了改变。

教师：在三个改变量中，哪一个量的改变占据着主导地位？

学生：x，y的变化是由θ的变化引起的。

教师：那么，随着θ的变化，r，x，y之间到底有怎样的联系？这种情况下我们可以采用由特殊到一般的方法来观察θ的变化是如何影响x，y的变化。比如当θ为一个锐角的时候？

学生：如图，当θ为一个锐角时，角θ的终边在第一象限。此时可以构建出一个直角三角形。由初中里直角三角形的边角关系，可得：sinθ=PMOP=yr，cosθ=OMOP=xr，tanθ=PMOM=yx。

教师：很好！那么在上图中，这几个比值与P点在射线上的位置有关吗？

学生：当改变P点的位置，由相识三角形的知识可知，这三个比值保持不变，所以和P点的位置是无关的，只和角θ的终边位置有关。

教师：很好！这样我们便可以得到锐角三角函数的定义了。由前面任意角的定义可知，射线OP不仅可以表示锐角θ的终边，也可以表示所有第一象限角的终边，这样一来，我们便可以把锐角三角函数的定义推广到所有第一象限角的三角函数了。

教师：当θ的终边落在第二象限时，r，x，y与θ有什么关系呢？当θ的终边落在其它两个象限呢？

学生：当θ的终边落在其它象限时，猜想yr，xr，yx也都只与θ的大小有关，而与点P在角θ的终边上的位置无关。即恒有sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yx。

对于学生的猜想，可以借助几何画板予以验证，最终总结得出任意角θ的三角函数。

设计意图：引领学生从最熟悉的锐角出发，借助初中里所学的直角三角形中的边角关系，实现“边长比”到“坐标比”的转化，进而得到三个三角函数的表达式。培养学生的建构意识和转化思想。由于有锐角三角函数作为铺垫，再通过几何画板的演示，学生可以比较顺利地进行任意角的三角函数的建构活动，将锐角三角函数推广到任意角的情形，培养学生的抽象、建构、分析能力。

二、在公式定理的教学中，培养学生的逻辑推理能力

数学逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类，一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，主要有归纳、类比;一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，主要有演绎推理。逻辑推理是数学思维的主要形式，是发现、提出数学命题以及论证命题正确与否的重要手段，也是构建数学体系的重要方式。

案例3 辅助角公式的推导

在三角函数的教学中，辅助角公式是一个极其重要的公式。在课堂教学中，可通过如下问题的解决，培养学生的逻辑推理能力。

教师：利用两角和与差的正余弦公式化简

①12sinx+32cosx。

学生：可以把12，32分别改写成cosπ3和sinπ3，所以12sinx+32cosx=cosπ3sinx+sinπ3cosx=sin（x+π3）。

教师：我们利用两角和公式的逆运算，把同一个角的两个不同名三角函数转化成了同一个三角函数。

试化简②sinx+3cosx。

学生：观察到②式整体是①式的两倍，

所以sinx+3cosx=2（12sinx+32cosx）=2sin（x+π3）。

教師：很好！再试试这两个式子：③3sinx+3cosx;④5sinx+12cosx。

学生：③式可以采用类似②式的处理方法：3sinx+3cosx=3（3sinx+cosx）=3·2（32sinx+12cosx）=23sin（x+π6）。

④式和前面的不一样，不能与特殊角度联系起来。

教师：我们不妨猜测一下，如果④这个式子也能进行类似化简的话，会是怎样的一个表达式？

学生：应该也是类似的式子：5sinx+12cosx=Asin（x+θ）。

教师：我们就假设5sinx+12cosx=Asin（x+θ）吧，将等式右边展开。

学生：Asin（x+θ）=Asinxcosθ+Acosxsinθ=5sinx+12cosx，

所以Acosθ=5，Asinθ=12，（Acosθ）2+（Asinθ）2=A2=52+122=169，所以A=13，cosθ=513，sinθ=1213。θ可以看作一个不是特殊角的锐角。

教师：很好！那形如Asinα+Bcosα这类式子是否都能进行类似的化简呢？

学生：令Asinα+Bcosα=Csin（α+θ），将等式右边展开运算可得C=A2+B2，cosθ=AA2+B2，sinθ=BA2+B2。

所以，Asinα+Bcosα=A2+B2sin（α+θ），其中cosθ=AA2+B2，sinθ=BA2+B2。

教师：我们推导出来的这个结论就是三角函数里一个非常重要的公式——辅助角公式。在这个推导过程中，学生经历了“由特殊到一般”的思维方式。在数学教学活动中，注重逻辑推理能力的培养，有利于学生理解一般结论的来龙去脉、形成举一反三的能力，有利于培养学生的思维习惯和交流能力，有利于学生提高探究事物本源的能力。

三、反思与感悟

高中数学的核心素养既相互独立，又互相交融，形成一个有机整体。对于学生数学核心素养的培养，绝不是一蹴而就的事情。在课堂教学中，教师应根据教学内容，有意识地培养学生的多种核心素养。

[参考文献]

[1]孙宏安.谈直观想象[J].中学数学教学参考，2017（11）.

[2]李刚，杨志文.例谈学生数学核心素养的提升，2018（05）.

（作者单位：苏州市吴江区平望中学，江苏 苏州215000）