文萍 岳增成

【摘   要】探究式教学是小学数学教学重要的方式，课程标准要求教师应引导学生通过探究活动获取数学知识。将数学史融入数学教学能够揭示数学知识产生和发展的过程，有助于学生数学知识的获取。本文结合西格尔提出的数学探究式教学框架，对三节不同类型的小学HPM课例进行分析，总结其中共性的特点，为小学数学探究式教学的开展提供借鉴。

【关键词】探究式教学;数学史;小学数学

一、引言

探究式教学是一种研究与教学相融合的师生互动型教学，它自古有之，古希腊先贤苏格拉底的“产婆术”就具有探究思想。著名的教育家杜威提出了较为系统的探究式教学理论，他认为探究是儿童的本能，教学应该以儿童的经验为核心，强调“做中学”，通过“在做中思维”培养学生的主动探索、勇于创新的精神。[1]美国教育学家施瓦布认为探究式教学过程应该是一种在教师指导下展开的具有严密的学术性和创造性活动。[2]近年来，探究式学习成为基础教育数学课程改革中的热门话题之一，美国数学教师协会（NCTM）在《学校数学课程标准与原则》中指出，探究是学生学习数学概念和知识重要的途径，包括探索、猜想、逻辑推理和评估等内容。[3]我国颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》中同样强调了数学探究活动，倡导教师发挥主导作用，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，通过观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动使学生理解和掌握基本的数学知识和技能，体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。[4]数学探究已成为课堂教学中的重要环节，然而在探究教学的实施过程中却存在探究问题的提出不够自然、探究活动不够深入等现象，因此，如何有效地进行数学探究式教学是需要思考的问题。

早在20世纪初，美国数学史家卡约黎（Cajori）就曾指出，“数学史是有效的教学工具”，[5]英国学者福韦尔（Fauvel）认为数学史为学生提供了探究机会。[6]近年来，将数学史融入小学数学教学日益受到数学教育界的关注和认可，在教学实践中产生了很多HPM 课例，那么在这些课例中，探究活动是如何开展的？数学史在探究活动中有何作用？本文试图通过对不同类型小学HPM课例的分析来回答上述问题。

二、分析框架

美国哥伦比亚大学的西格尔（ Siegel ）教授提出了数学探究式教学模式，将数学探究教学分为准备与聚焦、探索与发现、综合与交流、评估与延伸四个阶段，[7]每个阶段具体活动内容如下。

阶段1：准备与聚焦

教师对数学活动进行介绍，引发学生的初步思考，通过建立要探究的内容和学生已有知识之间的联系，产生认知上的冲突，从而聚焦探究问题，激发学生的学习动机，明确探究的主题和目标。

阶段2：探索与发现

学生根据教师提出的探究问题，通过猜想、分析、推理和验证等获得探究问题的初步答案。

阶段3：综合与交流

教师指导学生进行讨论，经过辨析、论证、研讨等过程，得到最终结果，在讨论过程中学生可通过表格、图形、证明等方法表达自己的想法，回应他人的意见，教师适时加以引导或帮助，帮助学生得出结论。

阶段4：评价与延伸

教师整理和归纳学生的探究发现，对探究过程中学生的参与态度和表现进行评价，并引导学生反思探究学习过程，学会通过类比将一般结论运用在其他数学情境中，从而掌握探究的方法。对新知识进行整理和拓展，以此激发更深层次的探究。

围绕融入数学史开展的探究活动，本文选取了已开发的HPM课例“三角形的面积”“角的初步认识”“两位数被一位数除”作为分析对象。这三个课例分属公式课、概念课和计算课，具有一定的代表性。

三、课例分析

【课例1】三角形的面积

“三角形的面积”是小学数学教学中的重要内容，教学中如果不重视公式的推导，将会错失培养学生直观想象和逻辑推理的机会。历史上三角形面积公式的产生和发展经历了漫长的过程，表1呈现的是不同时空中与小学三角形面积计算相关的内容。

表1   历史上三角形面积的计算方法

[人物或著作 《莱茵德纸草书》 《九章

算术》 刘徽

《九章算

术注》 欧几里得

《几何原本》 主要思想 古埃及人还没有“高”的概念，所以用“腰”近似代替三角形的高，等腰三角形面积=

[12底×腰] “半广以乘正从”，即三角形面积= [12底×高] 采用“出入相補”原理将三角形转化为矩形，“半广者，以盈补虚，为直田也” 通过第一卷命题37和命题38论述了同底等高、等底等高的三角形相等。在命题41中论述了同底等高的三角形和平行四边形面积之间的关系 图示

在“三角形的面积”课例中，教师将三角形面积计算方法产生和发展的历史整合到了教学中，突出了知识的产生和发展过程，让学生体会到了数学知识产生的必要性，具体探究环节如下。

阶段1：承接“平行四边形面积”的教学，教师首先引导学生复习平行四边形的面积推导，为后续学生用割补法探究三角形的面积做好铺垫。其次，沿用几何学起源于古埃及尼罗河泛滥后的土地测量、计算的历史背景，让学生帮助埃及法老解决三角形面积计算的问题，从而引出三角形面积推导的探究任务。

阶段2：教师准备三角形纸片、透明格子纸等学具，引导学生探究三角形面积公式。根据推导方法的不同分为两个层次的探究。第一层次：学生用倍拼法（将两个一样的三角形拼成一个平行四边形）推导三角形面积公式。第二层次：在透明格子纸的辅助下，学生利用割补法推导三角形面积公式。

阶段3：根据课堂生成，学生只探索出了倍拼的推导方法，学生汇报、教师总结这种方法后，教师让学生只借助一个三角形纸片推导面积，部分小组通过合作探索出了割补的方法。教师邀请部分小组进行汇报，与学生一起分析图形转化前后的变化，得到了三角形面积公式。

阶段4：教师总结学生探究的结果，根据学生得出的不同类型的公式推导方法，因势利导，通过微视频介绍我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中利用“出入相补”原理推导三角形面积公式的方法，将学生的方法与古人的方法进行对照，对他们的探究过程和结果进行了表扬，并补充介绍其他推导三角形面积公式的方法。课堂练习部分，结合《几何原本》中三角形与平行四边形面积关系的命题设置习题，强化学生对三角形的底、高和面积关系的理解。

【课例2】角的概念

“角”是一个很难刻画的几何概念，在历史上数学家们对“角”有不同的看法，[8]具体见表2，先后给出了“质”“量”和“关系”三种模式的定义。

表2    歷史上角的不同定义

[模式 主要特征 代表人物及定义 “质”的方面 用形状和特征来定义角 ·泰勒斯（Thales）将“相等的角”称为“相似的角”

·亚里士多德（Aristotle）把角看作是弯曲的线

·欧得姆斯（Eudemus）用“折断”（breaking）或“偏斜”（deflection）的线来定义角

·徐光启翻译《几何原本》时开创性地使用“锐角”“钝角”“直角”来命名不同类型的角 “量”的方面 用角度或距离来定义角 ·欧几里得（Euclid）用角度的大小来定义角，先定义直角，比直角小的称为锐角，比直角大的称为钝角

·普鲁塔克（Plutarchus）认为角是“折线或折面在某点处的初距”

·卡普斯（Carpus）认为角是“包含它的两线或两面之间的距离” “关系”的方面 用几何对象之间的关系来定义角 ·欧几里得（Euclid）认为角是“平面上相遇且不在同一直线上的两条线彼此之间的倾斜度”

·阿波罗尼斯（Apollonius）认为角是“折线或折面所含的面或体收缩到某点处” ]

在“角的概念”课例中，[9]以历史为主线设计了探究活动，循序渐进地引导学生从“质”“量”和“关系”三个方面对角的概念进行探究，具体探究环节设计如下。

阶段1：教师先让学生回顾角的定义“由一个顶点和两条直边组成的图形是角”，要求学生列举生活中的角，动手画一个角，并用自己的话来描述所画的角，通过活动让学生对角的概念有初步的感知，聚焦本节课的学习内容，继续研究“角”的概念。

阶段2：以历史为线索，设置四次活动，对角的概念进行“质”“量”和“关系”方面的探究。活动一：创设鸟妈妈喂食的问题情境“哪只鸟宝宝嘴巴张开得大，先喂那一只”，探究锐角、直角、钝角三种类型的角大小比较的方法。活动二：描述不同类型角的特征，并体会三类角命名的由来。活动三：继续探究两个锐角大小比较的方法，让学生感受角的大小比较的本质，即角的大小与画出的两边的长度无关，与两边张开的程度有关。活动四：展示角由小变大的动态过程，让学生分析其中的角。探究活动中学生通过观察和猜测得出结论，利用学具操作验证结论。

阶段3：活动一和活动三均是以小组合作开展的探究活动，学生展示比较角大小的方法，教师引导学生对这些方法进行辨析，借助活动一引出角的分类，借助活动三引出角大小比较的本质。

阶段4：学生对角的概念的理解过程与角的概念的历史发展过程具有一定的相似性，学生对角的认识与古人有很多相似之处。教师总结学生的方法，并结合历史进行古今对照，让学生经历“角”概念的产生过程，深化对概念本质的理解。通过展示角由小变大的动态过程，拓展了学生对于角的概念的理解。

【课例3】两位数被一位数除

除法在四则运算中难度最大，历史上出现过多种计算方法，比如古埃及“加倍与减半”的方法，图1呈现的是运用这种方法计算19÷8的过程，图2呈现的是热贝尔（Gerbert）计算900÷8的方法及其改进的方法，[10]图3呈现的是中国古代计算9225÷45的方法，其中有一些方法的思路和形式与现代除法竖式接近。

图2

学生在解决除法问题时与古代数学家的方法类似，在课例“两位数被一位数除”中，[11]教师鼓励学生采用多种方法解决除法问题，巧妙地将历史上出现过的算法穿插在教学中，启迪学生的发散思维，真正体现了算法的多样性和本质，其探究环节如下。

阶段1：教师首先用意大利数学家帕乔利的话“如果一个人能把除法做好，那么其他的运算对他来说轻而易举，因为加减乘都包含在除法运算当中”设置悬念，而后用动画片《疯狂动物城》创设问题情境：珠宝城被抢走67颗钻石，强盗们每人平均分得5颗钻石，求一共有几个强盗。通过问题情境激发学生的学习兴趣，为除法的学习做好准备。

阶段2：教师组织学生以小组为单位进行合作探究，鼓励他们采用多种方法解决[67÷5=？]的问题。学生探索出了用被除数逐次减去除数、将被除数拆分相除、试商、竖式计算等多种方法。

阶段3：学生汇报小组合作探究得出的不同方法，教师引导他们建立各种算法之间的联系。

阶段4：教师给予学生的合作探究以积极评价，帮助他们理解除法计算的算理，并巧妙融入数学史的内容，带领学生了解历史上出现的多种除法计算方法，引导他们进行算法的对照，加深他们对算理的理解。

四、结语

通过对上述小学HPM课例的分析发现，三个课例的探究环节都符合西格尔的探究教学四阶段框架。在准备与聚焦阶段，教师结合数学历史创设问题情境，将探究问题进行聚焦，凸显数学知识的必要性，明确目标、激发兴趣，为后续开展探究活动做好准备。在探索与发现阶段，教师以历史为线索，重构数学知识产生和发展的过程，引导学生通过观察、猜想、归纳、推理等方法得到数学问题的初步结论。在综合与交流阶段，针对探究结论进行师生、生生之间深入的交流和互动，以此深化对于数学问题的理解，实现对所学数学知识的“再创造”。在评估与延伸阶段，教师对学生的探究结论进行总结，通过多媒体课件、微视频等多种形式巧妙地将数学史融入数学教学，让学生感受数学知识产生和发展的历史过程，在数学思想方法的古今对照中，获得思想的启迪和成功的喜悦。

正如著名数学家和数学史家M·克莱因（M. Kline）所说：“数学史是教学的指南。”数学史为数学探究活动的设计提供了参照，教师选取具有教育价值的数学史材料融入课堂教学，在课堂中再现了数学知识产生和发展的过程。基于数学史的数学探究活动，是实施数学知识“再创造”的有效途径，凸显了探究之乐的教育价值，實现了历史与现实的交会，数学与人文的融合。

参考文献：

[1] 张华.研究性学习与生活[J].教育发展研究，2003（06）：20-24.

[2] 钟启泉.现代教学论发展[M].北京：教育科学出版社，1988：363.

[3] National Council Teachers of Mathematics. Principles and Standards for School Mathematics [Z]. Reston， Virginia： NCTM， 2000.

[4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011 年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[5]CAJORI F. The pedagogic value of the history of physics[J].The School Review，1899， 7（5）： 278-285.

[6] FAUVEL J. Using history in mathematics education [J]. For the learning of mathematics， 1991（2）： 3-6.

[7]SIEGEL M ， et al. Supporting students mathematical inquiries through reading [J]. Journal for Research in Mathematics Education ， 1998 ， 29 （ 4 ）： 378 - 413.

[8]HEATH T L. The Thirteen Books of Euclid Elements [M].Cambridge： John Clay，1968. 176-181.

[9]刘轩如，岳增成.HPM视角下“角”的教学[J].小学数学教师，2016（11）：43-48.

[10]郜舒竹.笔算方法多样性的历史考察[J].课程·教材·教法，2016，36（1）：88-94.

[11]岳增成，刘轩如.课堂中一名额外的学生——数学史融入“两位数被一位数除”的教学[J].小学数学教师，2017（Z1）：89-93.

（玉溪师范学院数学与信息技术学院   653100

杭州师范大学教育学院   311121）