HPM（数学史与数学教育）的深度研究

HPM（数学史与数学教育）是数学教育教学中值得研究的重要话题。站在中国HPM发展的脉络之上，不难发现中国的HPM已走出了一条以教学实践和课例开发为主的特色之路，但很多教育工作者对它的认识仍有误区。本刊曾在2018年刊登过华东师范大学HPM团队有关HPM与小学数学教育的专题，引起了极大的反响。这一年来岳增成团队基于案例对HPM与立德树人、核心素养、探究式教学、信息技术等的关系进行了深度研究。本刊特刊发他们的最新研究成果以及其他HPM研究者的实践经验，以期读者能更好地理解HPM与课程改革的关系、数学教育的相通性，从而更多、更好地将数学史运用于课堂教学。

【摘   要】为了更好地促进中国HPM的发展，对中国HPM的发展历程、特点进行了梳理。由此发现：中国的HPM发展是一条融合之路，在融合的过程中，HPM共同体坚守基础，积极借鉴国外成果，形成了以共同体支持下的HPM课例开发为核心的教学实践与教师专业发展的特色之路。

【关键词】HPM;发展历程;课例开发;教师专业发展

中国有灿烂的古代数学文明，数学史的研究也有较长的历史，并取得了不错的成就。中国的HPM（History and Pedagogy of Mathematics，数学史与数学教育）研究起步却相当晚，仅有十几年的时间，但已成为数学教育中最具活力的方向之一，有着自己独特的贡献。然而，与国际HPM 40余年的发展相比，中国的HPM研究时间尚短，还处于发展阶段，因此任重而道远。为了更好地发展HPM研究，我们既需要他山之石，也需要认清自己，本文将从纵向上梳理中国HPM的发展，以为中国HPM的发展带来启示。

一、从分离走向融合

HPM在中国出现的标志性事件是2005年第一届全国数学史与数学教育会议的召开。在此之前及HPM出现的早期，由于方向上的藩篱，数学史聚焦于特殊性事件研究，数学具有普遍性与抽象性的特征，而数学教育则指向健全的人的培养，[1][2]数学史、数学教育研究沿着两条互不相干的路径展开。一是在数学史领域，与国外HPM出现之前的情形一样，我国早已有一些著名的数学史家在研究数学史、讲授数学史课程的过程中，认识到数学史的教育价值;一些数学史研究者从20世纪末开始在研究数学史的过程中，加入了教育的视角，试图通过教育取向的数学史研究为数学教育教学带来启示，并开发了一些较难实施的教学设计。一是教学实践层面，教材编写者在教材中点缀式地编入一些数学家的图片，介绍中国古代数学的一些成就，教师通过在课堂中附加式地讲解一些数学家的故事以激发学生的学习兴趣，培养学生的爱国主义情怀。这导致了数学的历史顺序、知识的逻辑顺序、学生的认知顺序不能有机地整合在一起。但随着国内研究者对国外HPM教育价值的了解，人们对数学史教育价值的认识不再局限于数学情感、动机视角、激励因素等，开始认识到数学史对学生数学学习、数学和数学活动本质认识等的重要作用，且随着大量数学概念历史相似性的验证，即学生对某些数学概念的认识与古代数学家对这些概念的认识相似，学生对某些概念理解上的困难与历史上数学家遭遇的障碍一致，数学史与数学教育的关系开始密切起来，HPM逐渐发展成为数学教育中的研究方向。

二、坚守基础与积极借鉴

HPM的发展离不开学科基础的坚守、国外已有研究成果的借鉴。图1展示了目前HPM内部各个研究方向及其之间的关系。可见，教育取向的数学史研究是HPM的基础，国外HPM研究成果的借鉴是大陆HPM发展的重要推动力。

专业发展][教学实践与课例开发

（共同体支持）][数学史融入数学教材的研究][教育取向的数学史研究][历史相似性研究]

图1   HPM学科构成及其相互关系

（一）教育取向数学史研究

教育取向的数学史研究是HPM的基础，也正是因为有了它，其他方向的研究才得以顺利开展。尽管HPM萌芽于数学史教育价值的揭示，但它只是经验思辨的结果，而教育取向的数学史研究则是数学史与数学教育关系研究的开端。在国外，从19世纪40年代开始，泰尔凯（O. Terquem， 1782—1862）、德摩根（De Morgan， 1806—1971）、卡約黎（F. Cajori， 1859—1930）等就基于数学史的教育价值从教育的视角对数学史进行研究，提出了某些历史研究于教育教学的启示。在中国，在HPM出现以前，也有一些数学史研究者对历史上的人物与事件、概念与思想、运算与法则、问题与求解、公式与命题、工具与符号进行了教育取向的数学史研究。HPM出现后，这些层面教育取向数学史的研究更为广泛，且随着数学史在教学实践中的广泛应用，研究趋于实用，即教育取向数学史研究的出发点发生了转移，不再为研究而研究，而是以实践需求为导向，且随着各级各类学校对数学史的运用，数学史著作或者数学著作中数学知识的研究已不能满足教学需求。于是，HPM研究者将视角转向对西方早期数学教科书的研究，他们基于几十本或者上百本的西方早期教科书，搜寻出相关知识点的记录，在质性分析的基础上，进行统计意义上的分析，以得出相关知识点的发展特点，并从中获得解决目前教学难点的启示。

（二）国外HPM研究成果借鉴

作为舶来品的HPM，在中国的发展离不开对国外相关理论的借鉴，且HPM内部各个方向都有所借鉴：从早期对HPM先驱教育理念的介绍、HPM历史渊源的梳理、HPM教育价值的剖析，到后来大量中学数学概念历史相似性的验证、发生教学法理论基础的梳理及某些重要数学概念教学中发生教学法的应用、HPM研究内容与方法的系统梳理，到现在对国际数学教育大会（International Congress of Mathematics Education）、HPM卫星会议、欧洲暑期学校（European Summer University）等相关HPM活动的系统介绍，国外数学教育杂志中刊登的HPM文章的统计，国外数学史融入教学的评介，HPM与教师专业发展关系的研究等。可见，中国对国际HPM成果的借鉴，紧跟HPM国际发展的方向，大致沿着从关于“为何”“如何”之研究、教育取向的数学史研究、历史相似性研究，到教学实践与课例开发、HPM与教师专业发展的顺序开展，且会根据需要对重要节点处国际HPM发展的现状进行剖析，比如对HPM历史渊源、研究内容与方法的纵向梳理，对能代表某一时期发展状况的国际HPM会议进行横向的剖析。

2. 职前教师的专业发展

相對于在职教师，HPM驱动下的职前教师培养途径有所不同，且本科阶段与研究生阶段各有侧重。于本科师范生而言，传统的数学史课程以介绍历史取向的数学史为主，但这种课程对职前教师将来学科教学用途不大，因此数学史课程的讲授需要加入教育的视角，让学生知悉数学史与教学内容的关系，并辅以HPM案例教学，使师范生对数学史如何融入数学教学有一定的认识。于研究生师范生而言，使其具备教育取向数学史研究的能力是课程设置的目标，因此教育取向数学史研究成果的介绍是课程的重点，使其具备将数学史融入数学教学的能力是课程设置的愿景，因此，HPM案例教学是课程讲授的又一重点，且与本科师范生相比，研究生师范生有较多的机会参与到HPM课例展示的现场中来，从而有较多机会参与教育现场的HPM案例教学。

四、未来的路

HPM在中国的发展取得了长足的进步，但仍有很大的发展空间。在未来的发展过程中，学科基础仍要坚守，国外的研究成果仍需借鉴，理论与实践的互动还需加强;同时，要进一步完善HPM驱动下的教师专业发展体系，探索HPM驱动下的教师专业发展的最佳入口与高效的路径组合，毕竟目前HPM课例开发这一入口难度大，且对路径组合效果的研究缺失;此外，数学史融入数学教材的研究还需要进一步加强，必须突破目前以显性数学史研究为主的现状，将数学史更多地以顺应式（教材正文各栏目中对历史上数学问题进行改编，使之具有适合于今日课堂教学的情境或属性）、重构式（教材正文各栏目中借鉴或重构知识的发生、发展历史，以发生法来呈现知识）[9]的形式编入数学教材，以便教师更好、更容易地将数学史融入数学教学。

参考文献：

[1]Otte， M. Mathematical history， philosophy and education[J]. Educational Studies in Mathematics， 2007， 76（2）： 243-255.

[2]Fried， N. Didactics and history of mathematics： Knowledge and self-knowledge[J]. Educational Studies in Mathematics， 2007， 76（2）： 203-223.

[3]徐章韬.面向研究生教育的专业建设之路探微[N].数学教育学报， 2016， 25（3）： 48-51.

[4]Tzanakis C， Arcavi A.Integrating history of mathematics in the classroom： an analysis survey[G]// Fauvel J， Van Maanen J. History in Mathematics Education. Dordrecht： Kluwer Academic Publishers， 2000： 201-240.

[5]Jankvist U. T. A categorization of the ‘whys and ‘hows of using history in mathematics education [J]. Educational Studies in Mathematics， 2009， 71（3）： 235-261.

[6]汪晓勤.HPM的若干研究与展望[J].中学数学月刊， 2012（2）： 1-5.

[7][9]汪晓勤.HPM视角下的小学数学教学[J].小学数学教师， 2017（7-8）： 77-82.

[8]岳增成， 汪晓勤. HPM案例驱动下的小学数学教师专业发展——以“角的初步认识”为例[J]. 基础教育， 2017， 14（2）： 96-103.

（杭州师范大学教育学院   311121）