柏杨

【摘要】随着高中数学知识难度的提升，很多学生在学习中都遇到了问题，尤其对于解题感到更加为难。这就需要教师提供正确的解题方法。分类讨论方法是一种重要的策略，是一种重要的数学思想，也是一种数学逻辑方法，体现了化整为零的思想以及归类整理的方法。基于此，文章分析了高中数学解题教学中的分类讨论方法。

【关键词】高中数学;解题教学;分类讨论方法

分类讨论是一种重要的解题策略，但是当前很多学生在这方面的应用意识以及能力都较为不足，使得他们无法有效地应用该方法解题。分类讨论思想一般体现在高中数学问题中，如数列、立体几何、不等式以及函数等内容。

学生在解高中数学题时经常会出现一些情况，如在解到某一步之后，问题变得复杂，不能再用统一的方法、标准继续解题，学生就会不知所措。这是由于解题方法中包含不止一种情况，而是有多种情况，这时需要列出已知的各种条件，合理地思考若干种可能的情形。

在这些情况下按照一定的标准解题，明确解题的思路和方法。这里就集中体现了问题解决的方法是由大化小，由一般化特殊，由整体化为部分。在分类解决问题后，需要将这些问题进行整合。所以，分类讨论方法的解题过程就是“合-分-合”。

一、分类讨论方法的重要作用

分类讨论思想是以划分概念和集合分类为基础的。在高中数学解题中使用该思想方法需要注意以下几方面。

（一）清楚引起分类讨论的原因

在使用分类讨论思想方法时，为了更好地解决问题，就需要明白分类的原因，进而明确分类的标准，在此基础上开始解题。引起分类的原因主要有几方面，如：公式、定理、概念、法则、性质等的定义;包含参数的不等式、方程以及函数等问题，由参数值的“量变”引起结果的“质变”;在对几何问题进行研究的过程中，因为图形的变化，不确定图形的形状而导致问题结果出现变化，从而存在多种可能性;排列组合问题的特殊情况;等等。

（二）学会正确分类讨论的方法

要科学地进行分类，就需要在分类的过程中设立统一的标准，实现不重复，不遗漏。正确科学的分类讨论要坚持几种原则：第一，分类讨论的对象要做到没有遗漏，不重复;第二，分类的标准需要清楚;第三，如果分类讨论的对象不止一种，那么就需要分层次进行讨论，每个层次需要分别有统一的标准。

（三）注意分类讨论结论的整合

分类讨论思想有一个显著的特征，即逻辑性。在解决这类问题时，就需要具备一定的逻辑推理以及分析能力，还需要掌握一定的分类技巧。除了要注重分类讨论思想的运用之外，还需要注意“不要看见参数就想着分类讨论”。

要是能够对数学问题进行整体的处理，那么自然就无需进行分类讨论，不然只会让问题变得复杂，浪费解题的时间。

二、高中数学解题教学中的分类讨论方法运用

（一）利用数学概念分类讨论

在高中数学学习中，有很多的概念都是分类给出的，例如函数图像和直线的位置关系、直线斜率、分段函数等。如果数学问题和数学概念有关，那么在解题时就需要学生结合给出的概念展开分类讨论，进而完整、正确地解题[1]。

例1：如果函数（且）存在两个零点，那么求实数的取值范围（        ）。

这道题就是基于概念而产生的分类讨论，看起来好像是对指数函数图像与直线的位置关系的知识点进行考查，其实是考查指数函数的性质与概念。所以，在解题的过程中就需要结合底数的不同取值情况分类展开讨论。

设（且），，因为函数有两个零点，也就是和这两个函数图像的交点有两个。将函数图像画出来，就会出现：当的值的范围在0到1之间时，这两个函数图像的交点个数是一个，和题意不相符;当的值大于1时，的图像经过点（0，1），而的图像在点（0，1）的上方，这时可以判断两个函数图像的交点数量是两个，进而能够明确的取值范围。

在解这道题时，就运用了分类讨论的方法，求的是实数的取值范围，通过分类讨论，结合图像，就能够解出这道题的答案。

（二）结合参数变化进行分类讨论

有些数学问题中含有参数，因参数的取值是不固定的，因而可能有多种结果。在对这样的问题进行求解或证明时，就需要依据参数的具体取值情况开展相应的分类讨论，在解题中需要思考全面，对每种情况进行分类讨论。

例2：当取什么值时，不等式的解是一切实数。

可以看到题目中的式子是一个不等式，但是并不明确是一元一次不等式还是一元二次不等式。所以，在解这道题的时候就需要针对参数开展分类讨论，一共分为两种情况：第一种是，第二种就是。分别讨论之后再进行整合归纳。

在第一种情况下，能够解出的值为1或2：当时，原不等式为2>0恒成立，因此这一取值和题意是相符的;当时，不等式变为，解为，与题意不符。

在第二种情况下，要使不等式恒成立，必须使相应的图像开口向上，且判别式小于0，因而得出，且，解得或。

最后综合第一和第二两种情况，就能够得出的取值范围为。

（三）在几何中运用分類讨论思想

例3：如图1，在三角形中，，三角形内有任意一点，且，求证。

要解这道题，教师要让学生对三角形的各个角进行假设，设，，，根据正弦定理可得，，已知进而得出，又，即，且，从而能够分别得出和的范围：，。在这个区间内，是非单调函数，所以需要展开分类讨论。

第一种情况是，∵，，∴，得出，且，，因而。

第二种情况是，∵，∴又，则，即，与第一种情况同理，最后得出。

综合这两种情况可以知道，∵，，∴，，因此。

（四）小组合作，提升论述深度

通常为了更好地显示出分类讨论在解题中运用的优势，一般都是以小组的方式进行讨论的，这样可以避免一个人分类讨论时出现遗漏，也可以更加全面地对各种情况进行讨论。并且如果任务量增加，单靠一个人分类讨论解题，也会容易出现错误。所以，在高中数学教学中，教师需要注重对学生的分类讨论思考习惯进行培养，让学生养成良好的习惯，按照学生能力对学生进行分组。然后选择一个题目，让每个学生在小组内讨论沟通意见，也可以让他们以同一处作为切入点，对分类思路进行查缺补漏。这样能够尊重学生在小组讨论中的意见，还可以利用平等讨论及实时讨论的方法，增长每个学生在不同分类方法运用中的经验。学生如果可以在规律性较强的小组讨论中保持十分钟，那么大概就能够得出正确的答案，参加小组分类讨论的学生得出的答案一般都准确率较高[2]。

例4：已知数列的前项和是（1），（2），求数列的通项公式。

教师可以让学生在小组合作中对这道题进行求解，开展分类讨论。学生在小组内观察这道题目，会明确其涉及的知识点是和。

其中，（1）分两种情况讨论：当时，;当时，。也符合此式，综合可得（1）的通项公式为。

（2）也分两种情况讨论：当时，;当时，。不符合此式，综合可得（2）的通项公式为。

在小组合作中解这道题，学生可以全面地对各种情况进行分类讨论，不会出现遗漏的情况，从而更好地解题。

除了在实际数学解题中运用分类讨论思想，在预习或者复习中也可以运用分类讨论思想。比如，在学习新知识时，小组成员在学习中就可以分类讨论，划分新知识以及旧知识，这样能够有效地提升学习效果。

综上所述，要想让学生能够更好地解题，提升解题的速度以及准确率，教师就需要注重教授学生解题的思想和方法。只有掌握正确的解题方法，学生才能在遇到问题时不惧怕，正常地解题。

正确应用数学思想方法能够促进学生数学能力的提升，能够让学生运算起来更加简捷，推理利用更灵活。分类讨论是一种重要的数学思想与解题方法。在解题教学中，教师需要注重对学生的分类讨论能力进行培养，对思维缜密性、条理性进行培养，训练他们的分类讨论思想，提升学生对于数学学习的兴趣。这无论对学生的数学学习还是对他们以后的发展都具有重要的影响。

【参考文献】

[1]李凌云.分类讨论思想在高中数学解题过程中的运用[J].中学数学教学参考，2017（11X）：37-38.

[2]王娟.高中数学解题教学中的分类讨论策略[J].理科考试研究（高中版），2016（09）：14.