洪永棋

摘要：新版《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）明确提出，逻辑推理是得到数学命题，建立数学知识体系的重要方法，是数学严谨性的基础保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质，是依据规则推出其他命题的素养。高中数学教师要立足课堂教学，以发展学生数学学科核心素养为导向，落实立德树人根本任务，促进学生学习能力的提升。

关键词：学业水平;逻辑推理素养;变式训练

数学逻辑推理主要包含从特殊到一般的推理和从一般到特殊的推理两类。发展学生逻辑推理素养，不仅可以让学生学会

有逻辑的思考问题，而且能使学生在各种不同的环境中把握事物之间的联系，理清各种复杂情景下的事物发展本质，提高学生有条理的思考问题的能力，培养具有理性精神的思维品质。本文从抛物线焦点弦性质进行变式教学：从代数性质到几何性质变式;再到对例题进行变式教学：从代数性质的应用到具有几何意义的题目变式;最后对题目中的数字进行变式，从常数到参数变式。通过变式教学，引导学生深度学习，整体把握知识体系，从而提升学生数学逻辑推理素养，完成逻辑推理素养三个水平的培养。

1抛物线焦点弦性质的教学

过抛物线焦点的直线与抛物线相交两点A，B，线段AB叫做抛物线的焦点弦。因为焦点弦过抛物线焦点，所以出现了不少特殊的性质。通过对抛物线焦点弦性质的探究性教学及其变式教学，可以达到从不同的角度培养学生不同学业水平的逻辑推理能力和素养。例如：

已知过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的直线交抛物线于A、B两点。

抛物线焦点弦还有其它性质，通过联立抛物线方程与焦点弦方程，得出以焦点弦两端点的相应坐标积及坐标和的结论，这些学生比较容易操作，接着，让学生由坐标和的结论推导焦点弦长以及弦长最小值，到此，稍作停顿，让学生整理一下新的知识点，接着由焦点弦长可看成|FA|和|FB|的和，引导学生自主探究|FA|和|FB|的差或积或其它更好的形式，从而得出|FA|和|FB|的调和平均这个结论，至此，探究达到第一个高潮，学生在探究的过程中数学逻辑推理素养得到不断提升。以上，从代数的角度，探究了焦点弦两端点坐标的情况。下面，再从几何的角度探究，计算出一些数量关系后再结合几何图形来观察几何性质，是很自然的，进而，引导学生进入一个新的探究领域。

这样就可以想到直角三角形，想到射影定理，想到点在以DE为直径的圆上，点又在焦点弦上，所以得到圆和焦点弦相切。再引导学生思考以焦点弦为直径作圆，能否得到什么相切的情况？

所以，以焦点弦AB为直径的圆和准线相切于点N（DE的中点）。还有其它相切吗？过焦点弦端点A和B分别作抛物线的切线，此时，切线的交点还在准线上吗？

这种从不同角度完成对抛物线焦点弦性质的探究性学习方式，达到了让学生能够在较为熟悉的情境中，用不同的数学逻辑方法发现数量或者图形性质等教学效果，有利于培养学生的探究能力，从而提升和发展学生数学逻辑推理素养。

2抛物线焦点弦例题的变式教学

教师通过关联的情境变式教学，不仅能培养学生从特殊到一般的推理能力，而且能促使学生在相关联的情境中，达到发现问题、提出问题和解决问题等能力提高的目的，有效地地提升了学生的逻辑推理素养。

第（1）-（4）题主要应用前面推导的抛物线焦点弦的代数性质，第（4）题承上启下，既有代数解法又有几何解法，进而得出第（5）-（8）题这些具有几何意义（如面积、垂直、轨迹方程、最值等）的变式。通过变式，引导学生形成知识网络，促进学生数学逻辑推理素养的发展。教学时，可先对某一变式重点探究，其余变式作为课后作业让学生自主探究。

我们选取第（4）题中的变式进行重点探究，创设问题情境：你有几种方法求解这个变式？有了探究的情境，学生可以直接运用焦点弦性质，如解法二;也可以选择几何法，如解法一;有的学生还会想到代数法，如解法三。由此可见，让学生先自主探究，再合作交流，就可以发现一题的多种解法，提高学生运用所学知识进行分析问题以及解决问题的能力。

《标准》指出，逻辑推理素养水平一：能够在熟悉的数学情境中，用归纳法、类比法，发现数量或图形的性质，发现数量关系或图形关系;逻辑推理素养水平二：能够在关联的情境中，发现并提出数学问题，并准确地数学语言予以表述，能够对与学过的知识有关联的数学命题，用准确的数学语言表述、论证;

逻辑推理素养水平三：能够在综合的情境中，用数学的眼光找到合适的研究对象，提出有意义的数学问题。所以，如果学生可以用其中一种解法解决本题，依据满意原则，可以认为达到逻辑推理素养水平一的要求;如果学生可以综合运用几种解法，

联系几何与代数，依据满意原则，可以认为达到逻辑推理素养水平二的要求;如果学生能够构建过渡性命题、完成命题的抽象过程，并且论证途径清晰、推理过程表述严谨，依据加分原则，可以认为达到逻辑推理素养水平三的要求。下面是一些构建形式：由解法一发现如果只求直线的斜率，则不需要用到抛物线

这里，我们还可以引导学生自己再去变式，如已知直线斜率求分比，或再添加其中一段焦半径的长，求抛物线方程等。

学生为此结论的发现感到十分喜悦，更是从中体验到了探究的乐趣，引导学生通过探究而获得知识，并形成知识体系，使学生的数学学习其乐无穷。

3对数学教学的启示

上述抛物线焦点弦变式教学及发展数学逻辑推理素养的过程，对数学教学有如下启示：首先，要重视挖掘有关数学内容对发展学生素养方面可能的推动与贡献。《标准》根据数学学科特点凝练出的六个数学核心素养，是与具体的数学内容相联系的。为此，挖掘数学内容对数学核心素养的贡献，是利用数学的内在力量实现立德树人的正道。其次，要选择、设计与数学学科内容特征、数学核心素养相对应的学习方式。总之，我们应该尽可能地以数学课程内容为载体，组织合适的现实情境或数学情境，从中概括出数学对象的一般特征，促进学生数学逻辑推理核心素养的发展，完成课程标准中提出的学业质量的要求，落实立德树人根本任務。

参考文献

[1]教育部.普通高中数学课程标准[M].人民教育出版社，2003.

[2]龚浩生.让学生积极主动有序有效地探究--"抛物线焦点弦的性质的探究"课实录及评注[J].中学数学研究，2008（11）：7-11.