孙海峰

摘 要：导数是解决函数问题的一个有力工具，在高中阶段学习导数，有利于学生更好地掌握函数，理解函数的性质，所以在解决很多高中数学函数问题时，要利用导数的思想来化简问题。

关键词：导数;单调性;極值

函数y=f（x）在x0处的瞬时变化如果当Δx→0时们就说函数y=f（x）在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f ′（x），即f ′（x。如果函数f（x）在开区间（a，b）内每一点都可导，就说f（x）在开区间（a，b）内可导。这时对于开区间（a，b）内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f ′（x），这样就在开区间（a，b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f（x）在开区间（a，b）内的导函数，记作f ′（x），即f ′（x数也称导数。函数y=f（x）在点x0的导数f ′（x）的几何意义：表示函数曲线在P0[x，f（x0）]点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

一、利用导数求函数的单调区间

函数的一个重要的性质就是函数的单调性，而函数的单调性又是研究函数性质时需要特别注意的。我们通常用定义来判断。但是当函数的表达式相对比较复杂时，判断f（x1）-f（x2）的正负比较困难。这时我们就可以运用函数的导数来判断函数的单调性，只需考虑到f ′（x）的正负即可，当f ′（x）>0时，f（x）单调递增;当f ′（x）<0时，f（x）单调递减。所以说运用导数的知识判别函数的单调性比运用定义法判别更轻松，更简便，可以省去很多的繁琐步骤，而且更能明显地刻画出函数的多种性质，方便下面的研究做题。所以说此方法简单快捷而且适用面广。

例一：设函数f（x）=emx+x2-mx。证明：f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。（2015全国高考卷）

解：f ′（x）=m（emx-1）+2x

若m≥0，则当x∈（-∞，0）时，emx-1≤0，f ′（x）<0;当x∈（0，+∞）时，emx-1≥0，f ′（x）>0;

若m<0，则当x∈（-∞，0）时，emx-1>0，f ′（x）<0;当x∈（0，+∞）时，emx-1<0，f ′（x）>0;

所以，f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。

二、利用导数求参数的值及在指定区间内的极值

求参变量的取值范围是数学中的一个重要内容，有不少求参变量取值范围的问题依靠传统的方法不容易解决，但是借助求导的方法确是一种很有效的解决途径。当……