贾素素

(上海交通大学 安泰经济与管理学院，上海 200030)

根据中国物流与采购联合会发布的《中国采购发展报告(2017)》，在过去的2016年中，我国社会物流总费用为10.2万亿元，同比增长幅度为9.3%，增幅较上年同期回落2.1个百分点，占GDP比重为18.0%。而在发达国家中，美国此项占比为8.5%；在其他与我国经济发展水平基本相当的金砖国家中，印度为13.0%，巴西为11.6%。事实上，社会物流总费用占GDP比重是衡量物流效率的标志，该比重越低，表明单位GDP消耗物流资源越少、物流效率越高、国家的经济整体竞争力越强。有统计表明，我国社会物流总费用占GDP比例每降低1个百分点，将会带来3000亿元的效益。当今，国际物流正向精细化方向发展，从前不计成本、拼人力物力的模式早已不是长久之计，因而我国物流必须结合实际由传统物流向信息化、现代化物流发展。由此可见，我国物流成本偏高是不争的事实，也是亟待解决的问题。

1 延迟支付与现金折扣条件下库存总成本模型的建立

本文研究的问题建立在供应商提供延迟支付与现金折扣这两种常见的供应链金融服务的基础上，延迟支付是供应商允许零售商一个期限，零售商可以在此延迟支付期限之前支付货款，且不产生任何利息的一种供应链金融手段。现金折扣指的是供应商为了敦促零售商尽快支付货款，承诺若零售商在商定的现金折扣支付期之前付清货款，则可以享受一定的价格折扣优惠。且零售商经营的货物具有变质性，在这种情况下，本文的研究内容与相关结论可以帮助零售商做出使得自身单位时间库存总成本最低的订货决策，其中决策变量为订货周期与相应的订货量。

1.1 零售商库存总成本模型

文章首先构建零售商的库存总成本模型，包含订货成本(是否享受折扣优惠)、变质性物品的贬值成本、库存持有成本与利息的净支出成本等，对以上成本计量后加总；之后按照订货周期与现金折扣支付期以及允许的延迟支付期限的长短将问题分为三种情况分别讨论利息支出与是否享受折扣的情况：在订货周期大于可延迟支付期限时(此时也必然大于现金折扣支付期)，不享受现金折扣优惠，从周期起始到可延迟支付期限的一段时间内存在利息收入，而从可延迟支付期限到订货周期结束的一段时间内，未售出的库存(如果存在)会产生利息支出；当订货周期小于可延迟支付期限而大于现金折扣支付期时，不享受折扣优惠，整个订货周期内都有利息收入，且无利息支出发生；当订货周期小于现金折扣支付期时(此时必然小于延迟支付期限)，享受折扣优惠，同时整个周期内都存在利息收入，无利息支出。最后，在三种情况下分别计算出库存总成本，并通过求导方式得到最优订货周期，以及对应的最优订货量，确保理论上可以实现三种情况下各自的单位时间库存总成本最小化。

1.2 基本假设与符号定义

根据以上问题描述与本文研究内容的设定，为了研究的方便，我们需要做一些必要的假设来简化问题，突出研究重点。后文模型研究建立在以下假设的基础上：

(1)忽略短缺情况；

(2)订货提前期为零，补充率无穷大，即瞬时补货；

(3)商品的需求率已知且恒定不变；

(4)每一周期结束后库存为零；

(5)商品的批发价低于零售商的零售价；

(6)货物的变质率已知且恒定不变；

(7)延迟支付期限大于现金折扣支付期。

在后文模型中需要用到以下定义参数：

T：零售商订货周期(年)；

Q：零售商订货量；

N：现金折扣支付期(年)；

M：延迟支付期限(年),M>N；

S：每次订货成本；

p：零售商售价；

w：批发价，w

h：单位货物单位时间库存持有成本(扣除利息成本)；

D：需求率；

I：利率；

λ：短生命周期产品变质率；

θ：现金折扣率。

2 零售商订货量与订货周期关系求解

要解订货量Q与订货周期T的关系，首先需要根据库存的消耗情况建立微分方程，再根据方程的边界条件进行推导。

由于本文所考虑的零售商所销售的物品具有变质性，也即该物品会根据一个设定的变质率在订货周期内发生变质，在数量上有所消耗。在本文的研究中，因为需求造成的库存消耗与因为变质造成的库存消耗同时存在，因而有下面的微分方程存在：

(1)

由于我们已经假设在周期结束时库存为0，则每一周期开始时刻，库存也为0，因而根据边界条件t=0时，I(t)=I0，解以上微分方程，可以得到以下结果：

(2)

当t=T，I(t)=0，代入式(2)，求得以下Q与T关系：

(3)

将式(3)代入式(2)中，得到t时刻库存水平的表达式：

(4)

同时，我们可以得到一个周期T内发生由于物品发生变质而形成的库存消耗数量：

(5)

如此我们就得到了零售商的订货周期T与订货量Q的对应关系。在后文中，建立了每种情况下的零售商库存总成本模型后，通过求导得到使库存总成本最小的订货周期后，就可以根据此关系求出该情况下对应的最优的订货量Q。另外，每周期库存的消耗数量用于描述周期内的总变质成本。

2.1 分情况建立零售商库存总成本模型

接下来我们将根据订货周期T、延迟支付期限M与现金折扣支付期N的长短，将研究问题分为三种情况。

在订货周期大于可延迟支付期限时(此时也必然大于现金折扣支付期)，不享受现金折扣优惠，从周期起始到可延迟支付期限的一段时间内存在利息收入，而从可延迟支付期限到订货周期结束的一段时间内，未售出的库存(如果存在)会产生利息支出；当订货周期小于可延迟支付期限而大于现金折扣支付期时，不享受折扣优惠，整个订货周期内都有利息收入，且无利息支出发生；当订货周期小于现金折扣支付期时(此时必然小于延迟支付期限)，享受折扣优惠，同时整个周期内都存在利息收入，无利息支出。现在将以上三种情况下零售商是否能享受价格折扣与各自利息收支情况总结如下(如表1所示)：

表1 零售商享受价格折扣与利息收支情况

(1)订货周期T小于现金折扣支付期N与延迟支付期限M

在该种情况下，零售商的库存总成本表示如下：

用上式除以订货周期T则可以得到零售商在单位时间内库存总成本：

(6)

(2)订货周期T大于现金折扣支付期N而小于延迟支付期限M

在该种情况下，零售商的库存总成本表示如下：

用上式除以订货周期T则可以得到零售商在单位时间内库存总成本：

(7)

(3)订货周期T大于延迟支付期限M

在该种情况下，零售商的库存总成本表示如下：

用上式除以订货周期T则可以得到零售商在单位时间内库存总成本：

(8)

2.2 零售商最优库存策略求解

(1)零售商订货周期小于现金折扣支付期(T

在上一章节中，我们已经求得了该种情况下零售商的单位时间库存总成本，因此现在用式(6)对T求导，令导函数等于0，可以求得使库存总成本最小的最优的订货周期T：

(9)

为了证明该解是否是唯一的最优解，也即是否是图像中唯一使单位时间库存总成本最小的最低点，需要证明二次导函数大于0，过程如下：

(10)

此时为了证明式(10)的非负性，问题转化为：eλT(λT-1)2+eλT-2是否大于0，所以用绘图软件Gnuplot作3D图像，如图1所示。

图1 T

由图1可以看出，对于式(10)中的eλT(λT-1)2+eλT-2，在两个参数λ、T取值范围都在0～1时，该函数是非负的，并且在λ=0、T=0，λ=1、T=0，λ=0、T=1这三种情况下到达最低点，此时取得最小值0。因而可以知道式(10)是非负的，则令一次导函数(9)等于0求出的零售商订货周期为可以使单位时间库存总成本最小的唯一最优解。

(2)零售商订货周期大于现金折扣支付期而小于延迟支付期限(N≤T

在上一章节中，我们已经求得了该种情况下零售商的单位时间库存总成本，因此现在用式(7)对T求导，令导函数等于0，可以求得使库存总成本最小的最优的订货周期T：

(11)

为了证明该解是否是唯一的最优解，也即是否是图像中唯一使单位时间库存总成本最小的最低点，需要证明二次导函数大于0，过程如下：

(12)

此时为了证明式(12)的非负性，问题转化为：eλT(λT-1)2+eλT-2是否大于0，证明同情况(1)。

(3)零售商订货周期大于延迟支付期限(N

在上一章节中，我们已经求得了此种情况下的零售商单位时间内库存总成本的构成，现在只需用式(8)对订货周期T求导，并令导函数等于0，就可以求出使单位时间库存总成本最小的最优订货周期T：

(13)

为了证明该解是否是唯一的最优解，也即是否是图像中唯一使单位时间库存总成本最小的最低点，需要证明二次导函数大于0，过程如下：

(14)

为了证明式(14)的非负性，下面分别考虑λeλT(λT-2)+2(eλT-1)+2与λ2T2eλ(T-M)-2(λT-1)eλ(T-M)-2是否大于0，使用绘图软件Gnuplot绘图，如图2所示。

图2(a) N

图2(b) N

由图2可以看出，对于式(14)中的λeλT(λT-2)+2(eλT-1)+2部分，在两个参数λ、T取值范围都在0～1时，该函数是非负的，并且λ=1、T=0在达到函数最低点时，最小取值为1。

由图2可以看出，对于式(14)中的λ2T2eλ(T-M)-2(λT-1)eλ(T-M)-2部分，在两个参数λ、T取值范围都在0～1时，该函数是非负的，并且在λ=0、T=0，λ=1、T=0，λ=0、T=1这三种情况下到达最低点，此时取得最小值0。

因此可以得到，在两个参数λ、T取值范围都在0～1时，二次导函数式(14)是非负的，则令一次导函数(13)等于0求出的零售商订货周期为可以使单位时间库存总成本最小的唯一最优解。

3 结束语

本文研究的主要内容是经营变质性物品的零售商如何在供应商提供延迟支付与现金折扣这两种常见的供应链金融服务时，做出使得自身单位时间库存总成本最低的最优订货决策。当然，本文的研究还不够成熟，存在很多局限性。例如，本文考虑的货物变质率是恒定不变的，而已经有研究表明，Weibull分布可以更加切合实际地描述一般物品的变质规律；本文对于订货周期的研究没有考虑缺货现象，而在现实中缺货是很常见且几乎很难避免的现象，这一点的假设也过于强烈；本文的现金折扣率是固定的，而在现实的贸易往来中，很多供应商会根据零售商订货量的大小给出阶梯式的价格折扣率；等等。以上局限性有待在未来进行更符合实际情况的探索与研究。