王宁宁

摘 要：平面向量既有大小又有方向，在平面几何学中有举足轻重的地位，可以连接不同的考查内容，利用平面向量，可以将几何图形转化为代数分析，从而进行定量分析。解决圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则或运算律或数量积的意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行、和差、数量积等）转化为代数关系从而解决问题。

关键词：平面向量；圆锥曲线；椭圆；抛物线

平面向量具有“代数与几何”的双重身份，在数学王国中多处露面，活动频繁，算得上一个善于处理问题的“外交家”，下面我们将要看到的是平面向量在圆锥曲线领域所发挥的作用，希望大家能够从二者的亲密接触中了解熟悉平面向量的功能。

一、利用向量解决圆锥曲线的轨迹问题

例1已知=（x，0），=（1，y），向量与向量垂直.求点P（x，y）的轨迹C的方程.

点评：本题考查直线与抛物線的相交等知识，是一道综合性试题，重点考查利用数学知识解决问题的能力，向量在这里作为工具起到了一定的作用，使得问题处理显得非常的简单利落，体现了向量处理问题的简洁性.

三、利用向量解决圆锥曲线中的取值范围问题

点评：本题考查圆锥曲线中的椭圆的有关性质等基础知识，涉及到解三角形、三角函数等知识，我们巧妙的采用了向量的数量积的坐标运算来处理，体现了向量与曲线的关系，提示我们重视向量的工具性的应用.

四、利用向量解决圆锥曲线的离心率问题

点评：本题考查椭圆与直线等的有关知识，关键是依据试题条件寻求a、b、c的等式，求解此类问题的前提是正确理解解析几何中平行、三点共线等的关系与平面向量中的共线向量有异曲同工的作用，转化与划归数学思想蕴含其中.

五、利用向量解决圆锥曲线中的探索性问题

例5设 G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A（0，2），B（0，-2）且（λ∈R）.

（1）求点C（x，y）的轨迹E的方程；

（2）过点（2，0）作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.

分析：试题中出现了平面几何中三角形的重心、外心，解析几何中的椭圆，平面向量中向量加法的平行四边形法则等知识，首先通过G是重心及向量的共线（）写出了相关点G与H的坐标，又已知H为外心，得到等式，从而得到动点C的轨迹方程.第二我们通过条件中的，知四边形OMPN是平行四边形，又已知四边形OMPN是矩形，可得向量垂直关系，结合韦达定理，求得k的值.

解：（1）由已知得，又，∴，

∴直线l为：，故存在这样的直线l能够使得四边形OMPN是矩形，且直线的方程为。

点评：本题考查平面几何、解析几何、平面向量等基础知识，是一道综合性、探索性的试题，要求比较高，必须具有多方面的知识及灵活应用这些知识的能力，向量在这里发挥了很重要的作用（向量的共线、向量的垂直等）。

参考文献

[1]肖慧.平面向量与圆锥曲线的结合 [J].中学生百科（高中语数外），2010，7：26-27.

[2]李平珠.向量“搭台” 曲线“唱戏”——向量与圆锥曲线综合问题例谈[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2010，6：122-124.

（作者单位：山西省洪洞县山焦中学）